前言美國數學協(xié)會（MAA)下屬教師數學教育委員會在其《呼喚變革：關于數學教師的數學修養(yǎng)的建議書》中，提議所有有望成為中小學數學教師的人們： 注意自身對各種文化在數學思想的成長與發(fā)展過程中所做貢獻的鑒賞能力的培養(yǎng)，對來自不同文化的個人（無論男女）在古代、近代和現(xiàn)代數學論題的發(fā)展上的貢獻有所研究，并對中小學數學中主要概念的歷史發(fā)展有所認識。 根據MAA的觀點，數學史方面的知識能向學生表明，數學是一項非常重要的人類活動。數學不是一產生就有像我們教科書中那樣完美的形式，它常常是出于解決問題的需要，以一種直觀的和實驗性的形式發(fā)展出來的。數學思想的實際發(fā)展歷程能有效地被用來激勵和啟迪今天的學生。 這本新的數學史教科書是基于這樣一種認識產生的，就是：不只是未來的中小學數學教師，即便是未來的大學數學教師，為了更有效地給學生教好數學課，也需要對歷史背景有所了解。因此，這本書是為那些主修數學，今后打算在大學或高中任教的低年級或高年級的學生設計的，內容集中于中小學或大學本科教學計劃中通常包含的那些數學課程的歷史。因為一門數學課程的歷史會為講解這一課程提供非常好的思路，為了使未來的數學教師能在歷史的基礎上開展課堂教學，我們會對每一個新概念做充分細致的解說。實際上，許多習題就是要求讀者去講一堂課。我希望這些學生以及未來的教師能從本書獲得一種關于數學的來龍去脈的知識，一種可令大學對數學中許多重要的概念有更深入的理解的知識。 本書主要特色材料組織靈活盡管本書主要是按年代順序劃分成若干時期來進行組織的，但在每一時期內則是按專題來進行組織的。通過查閱詳盡的細節(jié)標題，讀者可以選擇某一特定的專題，對其歷史的全程進行跟蹤。例如，想研究方程求解時，就可以研究古代埃及人和巴比倫人的方法，希臘人的幾何解法，中國人的數值解法，阿拉伯人用圓錐截線求解三次方程的方法，意大利人所發(fā)現(xiàn)的求解三次方程和四次方程的一套算法，拉格朗日為解高次多項式方程而研究出來的一套判據，高斯在求解割圓方程方面所做的工作，以及伽羅瓦用置換來討論求解方程的工作，這一工作我們今天稱之為伽羅瓦理論。 關注教科書從事數學研究，發(fā)現(xiàn)新的定理和技巧是一回事，以一種使其他人也能掌握的方式來闡述這些定理和技巧則是另一回事。因此，在大部分章中都會討論一種或幾種那個時代的重要的教科書。學生們能通過這些著作來學習那些偉大的數學家們的思想。今天的學生將能夠看到某些論題在過去是怎樣被處理的，并能將這些處理方法與當今教科書中的方法加以比較，而且還能看到許多年前的學生想要解決的是什么樣的問題。 數學的應用有兩章是完全用來講數學方法的，也就是講數學是怎樣用于解決人類其他活動領域內的問題的。 這兩章，一章是關于希臘時期的，另一章則涉及文藝復興時期，它們相當大的部分是講述天文學的。 事實上，在古代，數學家常常也是天文學家。要想了解希臘數學的主要內容，關鍵是要了解希臘人關于天體的模型，以及怎樣借助這個模型用數學來得出預言。類似地，我們討論了哥白尼�查_普勒的天體模型以及文藝復興時期的數學家們是怎樣用數學來研究它的。我們還將考察在這兩個時期數學在地理學中的應用。 非西方數學我們還下了特別大的功夫來討論數學在世界上除歐洲以外一些地區(qū)的發(fā)展。于是，有相當多的材料是有關中國、印度和阿拉伯的數學的。此外，第11章還討論了世界其他地方的數學。 讀者會看到，有些數學概念在很多地方出現(xiàn)過，盡管也許并不是在我們西方稱為“數學”的背景中出現(xiàn)。 按專題分類的習題每一章均含有許多習題，為了便于選取，這些習題都是按專題分類匯集的。有些習題只需要簡單的計算，有些則需要填補正文中數學論證的空白。討論題是一種無明確答案的開放式問題，其中有些可能要做些研究才能回答。很多這類問題要求學生動腦筋去思考怎樣利用在課堂上學到的歷史材料。 有許多習題即使讀者不打算做，也至少應該閱讀一下，以便對該章的內容有更全面的了解。（奇數序號計算題和部分奇數序號證明題的答案可在書末的答案中找到。）焦點論壇小傳為了便于參閱，對許多我們介紹過他們工作的數學家，其小傳被放在獨立于正文的欄框中。特別是，盡管由于種種原因參與數學研究的婦女為數不多，我們還是寫了幾位重要的女數學家的小傳。她們通常都是在克服了重重困難后才能成功地對數學事業(yè)做出貢獻。 專題還有一些特殊論題以加框文字的專題形式散見于全書。其中有這樣一些專題，如埃及人對希臘數學影響問題的討論、托勒密著作中函數概念的討論、各種連續(xù)概念的比較。還有一些專題，它們把重要的定義匯集在一起以便于查閱參考。 補充資料每一章的開始有一段相關引語和對一個重要數學“事件”的描述。每章還有一份附加了注釋的參考文獻，學生們從這些文獻中可以獲得更多的信息�？紤]到本書的讀者主要是那些未來的中學或大專院校數學教師，我在書末加了一個附錄，對如何在數學教學中使用本書提供了一些建議。附錄包括:一張中學和大專院校數學課程中各專題的歷史與本書相應章節(jié)的明細對照列表；關于如何組織這類材料以適合課堂教學的一些建議；一張詳細的大事年表，以幫助讀者了解數學發(fā)現(xiàn)與世界史上發(fā)生的其他事件的聯(lián)系。書末有一張本書中出現(xiàn)的大多數數學家的編年名錄。 預備知識學過一年微積分，具備了可供運用的知識，就足以理解本書的前16章，以后的幾章要求更多一些數學上的準備。各節(jié)的標題已清楚地表明了需要哪些數學知識。例如，要想充分理解第19章和第21章，就要求學生學過抽象代數。 課程內容的彈性本書包括的內容遠遠超出了普通一學期的數學史課程所能講授的內容。實際上，它的內容適合一學年的課程。前半部分內容是講述公元前直到17世紀末微積分發(fā)明為止的這一時期的。后半部分內容則是講述18世紀至20世紀數學的。然而對于那些只有一個學期學時的教師來說，有幾種使用本書的方式：第一種方式是可以選前12章中的絕大部分內容，然后就以微積分作為結束；第二種方式是選講一到兩個專題的全部歷史。以下是可供選擇的專題：方程求解，微積分思想，幾何學概念，三角學及其在天文和測量方面的應用，組合學、概率論和統(tǒng)計學，抽象代數和數論。（附錄中的列表將幫助讀者找到與所選專題相對應的章節(jié)。）對于專題選講，我建議要盡量包括20世紀的內容，以使讀者認識到數學是在不斷創(chuàng)新和發(fā)展的。最后，可以將前兩種方式結合起來，即按年代順序講授古代數學的內容，然后再選講某個近現(xiàn)代數學的專題。 本版更新之處本書前兩版獲得了廣泛的接受，這鼓勵我保持它的基本體系和內容。然而，我仍力圖在本書的內容及表述的清晰性兩方面做出一系列的改進。改進的根據是許多使用過本書第1、2版的人們所提出的意見，以及在新近文獻中所刊載的有關數學史中的一些新發(fā)現(xiàn)。為使本書使用更方便，我將某些內容改組使其獨立成章。實際上每一小節(jié)都有一些小小的改動，而自第2版以來較重大的改動則有：通過分析《方法論》羊皮書而發(fā)現(xiàn)的關于阿基米德的新材料；新增一節(jié)關于托勒密《地理學》的內容；更多關于中國、印度和阿拉伯，以及古代埃及和巴比倫數學的介紹，這些介紹是以我的新作《數學原著選》中涉及這幾種文明的數學原始資料為基礎的；關于19、20世紀統(tǒng)計學的新材料；關于18世紀將牛頓《自然哲學的數學原理》中的某些結果翻譯成微分學語言的說明。全書以解決克萊數學研究所的第一個問題——龐加萊猜想的簡短介紹作為結束。我力求改正老版本中史實上的全部錯誤，并杜絕新的錯誤。如果讀者能夠指出本書遺留的錯誤，我將深表感謝。每章還增加了一些新的問題，其中有些比較簡單。參考文獻方面也盡可能做了更新。此外，本書還增加了一些新的、印有相關人物畫像的郵票作為插圖。不過應當注意到，任何這種試圖表現(xiàn)16世紀前數學家的郵票上的畫像——別處的畫像實際上也一樣——都是想象的。至今還沒有哪一張這類人物的畫像是有可靠證據的。 致謝和任何一本書一樣，要不是有許多人的幫助，本書是不可能寫成的。下面各位曾應我的請求閱讀了本書大部分章節(jié)并提出了寶貴的建議：Mancia Asher (伊薩卡學院），J.Lennart Berggren （西蒙弗雷澤大學），Robert Kreiser (美國大學教授聯(lián)合會），Robert Rosenfeld (納蘇社區(qū)學院），John Milcetich (哥倫比亞特區(qū)大學），Eleanor Robson (劍橋大學)和Kim Plofker (布朗大學）。此外，很多人對本書的第2版和第3版提供了詳盡的建議，盡管我沒有全部采納，但我真誠地感謝他們?yōu)楦倪M本書所提出的想法。這些人中有 Ivor Grattan Guinness, Richard Askey, William Anglin, Claudia Zaslavsky, Rebekka Struik, William Ramaley, Joseph Albree, Calvin Jongsma, David Fowler, John Stillwell, Christian Thybo, Jim Tattersall, Judith Grabiner, Tony Gardiner, Ubi D′Ambrosio，Dirk Struik 和 David Rowe。我衷心地感謝所有這些人。 審閱書稿的很多人也以他們細致深入的評論給了我很大的幫助，使本書增色不少，沒有他們的幫助，本書就不會是現(xiàn)在這個樣子。第1版的審稿人有：Duane Blumberg (西南路易斯安那大學），Walter Czarnec (弗雷明漢州立大學），Joseph Dauben ( 紐約市立大學萊曼學院)，Harvey Davis (密執(zhí)安州立大學），Joy Easton (西弗吉尼亞大學），Carl FitzGerald (加利福尼亞大學圣地亞哥分校），Basil Gordon(加利福尼亞大學洛杉磯分校），Mary Gray (美國大學），Branko Grunbaum (華盛頓大學）， William Hintzman (圣地亞哥州立大學），Barnabas Hughes (加利福尼亞州立大學北嶺分校)，Israel Kleiner (約克大學），David E�� Kullmam (邁阿密大學），Robert L�盚all (威斯康星大學密爾沃基分校），Richard Marshall (東密執(zhí)安大學），Jerold Mathews (艾奧瓦州立大學），Willard Parker (堪薩斯州立大學），Clinton M.Petty (密蘇里大學哥倫比亞校區(qū))，Howard Prouse (明尼蘇達州立大學曼卡托分校），Helmut Rohrl (加利福尼亞大學圣地亞哥分校），David Wilson (佛羅里達大學），以及Frederick Wright (北卡羅來納大學教堂山分校）。 第2版的審稿人有：Salvatore Anastasio (紐約州立大學，新帕爾茲分校），Bruce