第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何
　　本章的核心內(nèi)容是空間解析幾何，即用代數(shù)方法研究空間幾何圖形，它是平面解析幾何的推廣，為學習多元函數(shù)微積分學奠定了基礎(chǔ). 而向量代數(shù)作為研究空間解析幾何的工具，在物理學、力學及工程技術(shù)上具有廣泛的應(yīng)用.
　　8.1 向量及其線性運算
　　8.1.1 空間直角坐標系
　　問題 圓是平面圖形，在平面直角坐標系中，其方程可表示為，而球面是空間圖形，那么怎樣用代數(shù)的方法表達其方程呢? 首先需要建立空間直角坐標系，進而建立空間點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.
　　過空間一個定點，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以點為原點，且具有相同的單位長度，這三條數(shù)軸分別稱為軸(橫軸)、軸(縱軸)和軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標軸．坐標軸的正向要符合右手法則：即伸開右手，讓并攏的四指與大拇指垂直，并使四指先指向軸的正向，然后讓四指沿握拳的方向旋轉(zhuǎn)90°指向軸的正向，此時大拇指的指向即為軸的正向(見圖8.1.1)．這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系(一般將軸和軸放置在水平面上)，點叫作坐標原點或原點．
　　在空間直角坐標系中，每兩條坐標軸可以確定一個平面，稱為坐標面．其中軸與軸確定的平面叫作坐標面，類似地有坐標面、坐標面．三個坐標面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限，含有軸、軸與軸正半軸的那個卦限稱為第Ⅰ卦限．在坐標面的上方按逆時針方向依次為第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限．在坐標面的下方，與第Ⅰ卦限對應(yīng)的是第Ⅴ卦限，其余第Ⅵ卦限至第Ⅷ卦限仍按逆時針方向順次確定(見圖8.1.2).
　　圖8.1.1　　　　　　　　　　　　　圖8.1.2
　　通過空間角坐標系，我們可以建立空間點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系．
　　設(shè)為空間一點，過點分別作垂直于軸、軸與軸的平面，它們與軸、軸和軸分別交于點、和(見圖8.1.3)．設(shè)這三個點在三個坐標軸上的坐標分別為、和，于是點就確定了唯一的一個有序數(shù)組；反過來，對于給定的有序數(shù)組，可分別在軸、軸與軸上找到點、和，使其坐標分別為、和；過點，和分別作垂直于軸、軸與軸的平面，這三個平面必相交于空間唯一一點．這樣就建立了空間點和有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)關(guān)系．將有序數(shù)組稱為點的坐標，記作．、和依次稱為點的橫坐標、縱坐標和豎坐標．
　　按照點的坐標的規(guī)定，位于坐標軸和坐標面上的點，其坐標各有一定的特征．在軸、軸及軸上的點的坐標分別是(, 0, 0)，(0, , 0)，(0, 0, )；在坐標面、坐標面及坐標面上的點的坐標分別是(,, 0) ，(0, , )，(, 0, )，原點的坐標是(0, 0, 0)．
　　8.1.2 空間兩點間的距離
　　設(shè),為空間兩點，則這兩點之間的距離為
　　證明 過點、各作三個分別垂直于三條坐標軸的平面，則這六個平面圍成一個以、為對角線的長方體(見圖8.1.4)．由于和均為直角三角形，所以
　　==+
　　=++．
　　由于=，，，所以
　　．
　　特殊地，點與坐標原點的距離為
　�。�
　　例8.1.1 已知點M(a, b, b)，P(9, 0, 0)，Q(-1, 0, 0)，且三點滿足| MP |2 = | MQ |2 = 33，試確定a，b的值．
　　解 由題意，有| MP |2 = | MQ |2，即(9 - a)2 + 2b2 = (-1- a)2 + 2b2，解得a = 4．
　　又因為| MP |2 = 33，即(9 - 4)2 + 2b2 = 33，解得b ==2．
　　8.1.3 向量及其表示
　　在物理學及其他學科領(lǐng)域，我們常見到兩類量：一類只有大小沒有方向，因此用一個數(shù)字就完全可以表示的量，如溫度、長度、質(zhì)量等，這類量稱為數(shù)量或標量；還有一類量，它們既有大小又有方向，如力、速度、加速度等，這類量稱為向量或矢量．
　　在印刷體中，一般用黑斜體字母表示向量，如a，b，i，F(xiàn)等．有時為了書寫方便也用字母上方加箭頭的方法表示向量，如，，，等．幾何上，常用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的指向表示向量的方向，如起點為A、終點為B的向量記為，如圖8.1.5所示．