本書主要討論組合數(shù)學和堆壘數(shù)論中的整數(shù)分拆理論.在內(nèi)容方面，首先介紹了研究整數(shù)分拆的重要工具：雙射證明、Ferrers圖和生成函數(shù)，并以此證明了著名的Euler恒等式和Euler五角數(shù)定理.本書取材廣泛，不僅討論了Rogers-Ramanujan恒等式、階梯教室分拆、平面分拆等問題，還建立了整數(shù)分拆與Young表、鉤長公式、偏序集等其他數(shù)學對象之間的緊密聯(lián)系.在行文方面，作者在力圖使本書保持通俗易懂、深入淺出的風格之時，又盡量不失邏輯的嚴謹性.從而使得一個高中生也可以輕松地閱讀本書的絕大部分內(nèi)容.此外，作者還提供了許多優(yōu)質(zhì)的練習題并且合理地區(qū)分了難度，以使不同層次的讀者都能從中充分受益.
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目錄
第1章 緒論 1
第2章 Euler以及更多 4
2.1 集合術語 4
2.2 分拆恒等式的雙射證明 5
2.3 Euler恒等式的雙射 7
2.4 Euler對 8
第3章 Ferrers 圖 13
3.1 Ferrers圖和 Ferrers板 13
3.2 共軛分拆 15
3.3 p(n)的上界 18
3.4 Bressoud的優(yōu)美雙射 22
3.5 Euler五角數(shù)定理 23
第4章 Rogers-Ramanujan恒等式 28
4.1 分拆恒等式的基本形式 28
4.2 發(fā)現(xiàn)第一類Rogers-Ramanujan恒等式 29
4.3 Alder猜想 32
4.4 Schur定理 33
4.5 尋找 Rogers-Ramanujan恒等式的雙射證明 36
4.6 Rogers-Ramanujan恒等式的影響 38
第5章 生成函數(shù) 39
5.1 乘積形式的生成函數(shù) 39
5.2 Euler定理 43
5.3 二元生成函數(shù) 45
5.4 Euler五角數(shù)定理 46
5.5 p(n) 的同余性質(zhì) 47
5.6 重溫 Rogers-Ramanujan恒等式 48
第6章 分拆函數(shù)公式 51
6.1 p(n，1) 和 p(n，2) 的公式 51
6.2 p(n，3) 的公式 53
6.3 p(n，4) 的公式 54
6.4 lim p(n)1/n = 1 57
第7章 Gauss多項式 60
7.1 二項式數(shù)的性質(zhì) 60
7.2 格路徑和q-二項式系數(shù) 62
7.3 q-二項式定理和q-二項式級數(shù) 64
7.4 Gauss多項式恒等式 66
7.5 Gauss多項式的極限 69
第8章 Durfee方形 70
8.1 Durfee方形和生成函數(shù) 70
8.2 Frobenius符號 73
8.3 Jacobi三重積公式 74
8.4 Rogers-Ramanujan恒等式 75
8.5 相繼的 Durfee方形 79
第9章 Euler定理的加細 82
9.1 Sylvester加細的Euler恒等式 82
9.2 Fine的加細 84
9.3 階梯教室分拆 86
第10章 平面分拆 93
10.1 Ferrers圖和菱形平鋪 93
10.2 MacMahon的公式 95
10.3 πr(h，j；q) 的公式 97
第11章 逐步增長的Ferrers板 99
11.1 隨機分拆 99
11.2 分拆偏序集 100
11.3 鉤長公式 102
11.4 隨機增長的Ferrers板 106
11.5 多米諾骨牌平鋪 107
11.6 北極圈定理 108
第12章 沉思集 114
12.1 我們遺漏了什么？ 114
12.2 去哪里展開新的探索？ 116
12.3 在哪里可以了解分拆的歷史？ 117
12.4 還存在尚未解決的問題嗎？ 117
附錄A 無窮級數(shù)和無窮乘積收斂性 119
附錄B 參考文獻 122
附錄C 部分習題答案和提示 126
索引 132
《現(xiàn)代數(shù)學譯叢》已出版書目
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