目錄
前言
第1章 行列式 1
1.1 內(nèi)容梗概 1
1.1.1 二 (三) 階行列式 1
1.1.2 n 階行列式的定義 2
1.1.3 行列式的性質 3
1.1.4 行列式的計算 4
1.1.5 Cramer法則 5
1.2 疑難解析 6
1.2.1 如何用MATLAB解題 6
1.2.2 行列式和矩陣有何聯(lián)系 6
1.2.3 對角線法則適用于四階行列式嗎 7
1.2.4 連加和連乘的性質 8
1.2.5 行列式計算的解題信號有哪些 9
1.2.6 何時需要行列式中的逆向思維 9
1.3 典型例題 10
1.3.1 降階公式和余子式 10
1.3.2 逆序數(shù)和行列式的定義 11
1.3.3 n階行列式的計算 12
1.3.4 Cramer法則的應用 19
1.3.5 行列式、矩陣、分塊矩陣、特征值和多解方程 20
1.4 上機解題 20
1.4.1 習題1.1 20
1.4.2 習題1.2 22
1.4.3 習題1.3 23
1.4.4 習題1.4 24
1.4.5 習題1.5 31
第2章 矩陣 36
2.1 內(nèi)容梗概 36
2.1.1 矩陣的定義 36
2.1.2 矩陣的運算 37
2.1.3 可逆矩陣 38
2.1.4 分塊矩陣及其運算 39
2.1.5 初等矩陣與矩陣的初等變換 40
2.1.6 矩陣的秩 42
2.1.7 線性方程組的Gauss消元法 43
2.2 疑難解析 44
2.2.1 如何使用MATLAB矩陣命令 44
2.2.2 為什么矩陣乘法不滿足交換律 44
2.2.3 同型、相等、等價、相似和合同的定義與記號 45
2.2.4 行列式的數(shù)乘性質和數(shù)乘矩陣的行列式 45
2.2.5 如何證明行列式和跡的交換律 46
2.2.6 準對角矩陣的運算性質 46
2.2.7 初等矩陣與初等變換的性質 46
2.2.8 行階梯形、最簡行階梯形和標準形 47
2.2.9 行列式性質、初等矩陣和方程組的初等變換有何聯(lián)系 47
2.2.10 可逆矩陣、非奇異矩陣和滿秩矩陣有何差別 47
2.2.11 伴隨矩陣的性質 48
2.3 典型例題 48
2.3.1 矩陣乘法與乘方 48
2.3.2 行列式、分塊矩陣、逆矩陣和伴隨矩陣 50
2.3.3 秩的不等式 54
2.3.4 跡的交換性 54
2.3.5 Gauss消元法 55
2.4 上機解題 56
2.4.1 習題2.1 56
2.4.2 習題2.2 57
2.4.3 習題2.3 63
2.4.4 習題2.4 65
2.4.5 習題2.5 69
2.4.6 習題2.6 75
2.4.7 習題2.7 79
第3章 向量與線性空間 85
3.1 內(nèi)容梗概 85
3.1.1 空間直角坐標系 85
3.1.2 向量與向量的線性運算 86
3.1.3 向量的標量積、向量積及混合積 86
3.1.4 平面與空間直線的方程 88
3.1.5 向量組的線性相關性 90
3.1.6 向量空間 93
3.1.7 線性方程組解的結構 94
3.1.8 n 維歐氏空間 95
3.1.9 線性空間和線性變換 97
3.2 疑難解析 99
3.2.1 如何用MATLAB實現(xiàn)行階梯形、高斯消元法和Schmidt正交化 99
3.2.2 如何用秩表示三個平面的相交關系 99
3.2.3 如何求兩異面直線的距離 100
3.2.4 向量空間、矩陣空間、線性空間、線性子空間和歐氏空間有何聯(lián)系100
3.2.5 線性變換、矩陣和初等行變換的聯(lián)系 101
3.2.6 數(shù)乘和乘法有何聯(lián)系 101
3.2.7 矩陣等價和向量組等價有何聯(lián)系 101
3.2.8 階梯形和最簡行階梯形有何應用 101
3.2.9 線性變換中的反例 101
3.3 典型例題 102
3.3.1 直線和平面 102
3.3.2 線性相關性、極大線性無關組和線性表示關系 102
3.3.3 方程組解的判別和解方程 105
3.3.4 內(nèi)積和正交矩陣 107
3.3.5 坐標、過渡矩陣和線性變換的矩陣表示 107
3.4 上機解題 107
3.4.1 習題3.1 107
3.4.2 習題3.2 109
3.4.3 習題3.3 111
3.4.4 習題3.4 114
3.4.5 習題3.5 118
3.4.6 習題3.6 125
3.4.7 習題3.7 127
3.4.8 習題3.8 140
3.4.9 習題3.9 143
第4章 相似矩陣 147
4.1 內(nèi)容梗概 147
4.1.1 方陣的特征值與特征向量 147
4.1.2 方陣相似對角化 149
4.2 疑難解析 150
4.2.1 如何用MATLAB命令求特征值和特征向量 150
4.2.2 如何理解特征值和特征向量 150
4.2.3 相似變換的本質是什么 151
4.2.4 相似對角化有何應用 151
4.2.5 特征值的隱含定義有哪些 151
4.2.6 正交相似對角化的難點有哪些 151
4.2.7 相似對角化的幾個典型反例 152
4.3 典型例題 153
4.3.1 特征值的定義 153
4.3.2 特征多項式的相似不變性 156
4.3.3 伴隨矩陣的特征值 156
4.3.4 代數(shù)重數(shù)、幾何重數(shù)和相似對角化 157
4.4 上機解題 160
4.4.1 習題4.1 160
4.4.2 習題4.2 164
第5章 二次曲面與二次型 174
5.1 內(nèi)容梗概 174
5.1.1 二次曲面 174
5.1.2 二次型 176
5.1.3 正定二次型和正定矩陣 178
5.2 疑難解析 180
5.2.1 如何用MATLAB求正交變換矩陣 180
5.2.2 如何用MATLAB作二次曲面圖 180
5.2.3 如何求旋轉面和投影 182
5.2.4 等價、相似和合同的反例 182
5.2.5 正定矩陣、半正定矩陣、對稱矩陣和方陣有何聯(lián)系 184
5.2.6 正定二次型和半正定二次型的子式有何差異 184
5.3 典型例題 184
5.3.1 慣性定理 184
5.3.2 合同標準形 185
5.3.3 正定矩陣的判別 187
5.3.4 帶參數(shù)的二次型 188
5.4 上機解題 189
5.4.1 習題5.1 189
5.4.2 習題5.2 198
5.4.3 習題5.3 206
第6章 解題技巧 212
6.1 行列式和跡 212
6.1.1 行列式 212
6.1.2 跡 214
6.2 秩 215
6.3 特征值、特征向量和對角化 216
6.3.1 特征值 216
6.3.2 特征向量 216
6.3.3 對角化 217
6.4 隱含定義 217
6.4.1 特征值的隱含定義 217
6.4.2 秩的隱含定義 217
6.4.3 方程解的隱含定義 218
6.5 不變性和交換律 218
6.5.1 不變性 218
6.5.2 交換律 219
6.6 規(guī)范解題 219
6.6.1 Gauss消元法解方程的解題過程 219
6.6.2 矩陣對角化的解題過程 219
6.6.3 求對稱矩陣的解題過程 219
6.7 常用反例 220
6.7.1 矩陣乘法 220
6.7.2 方程的解 220
6.7.3 秩、重數(shù)、特征值和特征向量 220
6.7.4 正交矩陣和半正定矩陣 221
6.7.5 兩個矩陣的關系 221
參考文獻 222