目錄
引言 1
第1章 數(shù)與集合 3
1.1 集合 3
1.2 映射，勢 5
1.3 自然數(shù)序列 5
1.4 有限與可數(shù)集合 9
1.5 分類 11
第2章 群 12
2.1 群的概念 12
2.2 子群 20
2.3 群子集的運算，陪集 23
2.4 同構(gòu)與自同構(gòu) 26
2.5 同態(tài)，正規(guī)子群，商群 28
第3章 環(huán)與域 32
3.1 環(huán) 32
3.2 同態(tài)與同構(gòu) 39
3.3 商的構(gòu)成 39
3.4 多項式環(huán) 42
3.5 理想，同余類環(huán) 46
3.6 整除性，素理想 50
3.7 Euclid環(huán)與主理想環(huán) 51
3.8 因子分解 55
第4章 向量空間和張量空間 59
4.1 向量空間 59
4.2 維數(shù)不變性 61
4.3 對偶向量空間 64
4.4 體上的線性方程組 65
4.5 線性變換 67
4.6 張量 71
4.7 反對稱雙線性型與行列式 73
4.8 張量積，縮并與跡 77
第5章 多項式 80
5.1 微分法 80
5.2 多項式的零點 81
5.3 內(nèi)插公式 83
5.4 因子分解 87
5.5 不可約性判定標準 90
5.6 因子分解在有限步下的完成 93
5.7 對稱函數(shù) 94
5.8 兩個多項式的結(jié)式 97
5.9 結(jié)式作為根的對稱函數(shù) 100
5.10 有理函數(shù)的部分分式分解 102
第6章 域論 105
6.1 子體，素體 105
6.2 添加 107
6.3 單純域擴張 108
6.4 域的有限擴張 112
6.5 域的代數(shù)擴張 114
6.6 單位根 118
6.7 Galois域(有限域) 123
6.8 可分與不可分擴張 126
6.9 完全域及不完全域 131
6.10 代數(shù)擴張的單純性，本原元素定理 132
6.11 范數(shù)與跡 133
第7章 群論續(xù) 138
7.1 帶算子的群 138
7.2 算子同構(gòu)和算子同態(tài) 140
7.3 兩個同構(gòu)定理 141
7.4 正規(guī)群列與合成群列 142
7.5 pn階群 146
7.6 直積 147
7.7 群的特征標 150
7.8 交錯群的單純性 154
7.9 可遷性與本原性 156
第8章 Galois理論 159
8.1 Galois群 159
8.2 Galois理論的基本定理 161
8.3 共軛的群、域與域的元素 163
8.4 分圓域 165
8.5 循環(huán)域與純粹方程 171
8.6 用根式解方程 173
8.7 n次一般方程 176
8.8 二次、三次與四次方程 179
8.9 圓規(guī)與直尺作圖 185
8.10 Galois群的計算，具有對稱群的方程 188
8.11 正規(guī)基 192
第9章 集合的序與良序 197
9.1 有序集合 197
9.2 選擇公理與Zorn引理 198
9.3 良序定理 200
9.4 超限歸納法 201
第10章 無限域擴張 203
10.1 代數(shù)封閉域 203
10.2 單純超越擴域 208
10.3 代數(shù)相關(guān)性與無關(guān)性 211
10.4 超越次數(shù) 214
10.5 代數(shù)函數(shù)的微分法 216
第11章 實域 222
11.1 有序域 222
11.2 實數(shù)的定義 225
11.3 實函數(shù)的零點 233
11.4 復(fù)數(shù)域 237
11.5 實域的代數(shù)理論 239
11.6 關(guān)于形式實域的存在定理 243
11.7 平方和 246
索引 248