近年來,凸性在應用數(shù)學領域有關極值問題的研究中所發(fā)揮的作用越來越重要。本書是有關凸集和凸函數(shù)理論的系統(tǒng)闡述,這些理論在極值問題的研究中發(fā)揮著中心作用。不等式系統(tǒng),定義在凸集上的凸函數(shù)的最大值或最小值、Lagrange乘子、極小極大定理以及有關凸集的結構、凸函數(shù)與鞍函數(shù)的連續(xù)性和可微性的基本結果,均是本書所要涉獵的內容。全書均涉及對偶性,特別地,要涉及關于凸函數(shù)Fenchel型共軛的相關理論。
書中的許多材料是以前沒有出版過的。例如,給出了一種推廣的線性代數(shù),按照此理論, “凸雙重函數(shù)” 為線性變換的類似物, 凸集的“內積” 以及函數(shù)用Fenchel型對偶定理中的極值來定義。每個凸雙重函數(shù)均與廣義凸規(guī)劃相聯(lián)系,引入了一種有關雙重函數(shù)的伴隨運算,由其產(chǎn)生了一種對偶規(guī)劃理論。線性變換和雙線性泛函之間的所有經(jīng)典結論均被推廣到凸雙重函數(shù)和鞍函數(shù)的情形,并且在鞍函數(shù)和極小極大問題的分析中作為主要工具。
不動點定理等一些可被看作正常凸分析的專題被去掉了,并非這些內容缺少吸引力和應用性,而是因為它們需要一些技術改進,這些技術從某種程度上超出了本書的內容。
考慮到不僅僅純數(shù)學家,而且經(jīng)濟學家、工程師等其他領域的專家已經(jīng)對凸分析有興趣,我們盡最大努力,使書的內容保持在基礎知識的范圍,并且提供了細節(jié),這些細節(jié),如果僅限制在數(shù)學圈子的作品中是可接受的,僅僅被作為“練習”
來處理。一些討論,如實數(shù)n 元組空間,甚至許多能夠在更廣泛的環(huán)境下成立的結果,都限制在歐氏空間Rn 中。在注釋與參考中收集了一些有關改進和推廣的文獻,這部分內容放在參考文獻的前面,兩者都安排在書的最后。
關于預備知識,我們要求讀者應該能夠至少具有良好的線性代數(shù)和基礎實分析(收斂序列、連續(xù)函數(shù)、開集和閉集、緊性等)基礎,Rn 空間的知識也不可缺。雖然與較深的抽象數(shù)學分支沒有可比性,但是從讀者的角度來講,書的風格的確試圖表達數(shù)學的某些縝密性。
書的開頭安排了導讀,對每部分的內容和取材進行了描述,可以看成是對每節(jié)主題的引言。
本書來源于1966年春季我在普林斯頓大學所授課程的講稿。這份講稿在很大程度上來源于哥本哈根大學的WernerFenchel教授15年前在普林斯頓大學所授類似課程的手稿。Fenchel的手稿從未出版,但是,以油印本的方式傳閱,作為主要且本質上為唯一的有關凸函數(shù)理論的文獻,在這漫長的時間里惠及了許多研究者。
前言Ⅴ 這極大地影響到我的思想,這方面的一個例子就是共軛凸函數(shù)占據(jù)了書的大部分。
因此,將本書以榮譽合著者的形式奉獻給Fenchel是十分合適的。
我十分希望表達我對普林斯頓大學A.W.Tucker教授的深深謝意,自從學生時代起,他的鼓勵和支持就已經(jīng)成為我的精神支柱。事實上,就是按Tucker的建議給出了本書的書名。進一步還要感謝Torrence D.Parsons 博士、NormanZ.Shapiro博士和LynnMcLinden先生,他們仔細閱讀了書稿并提出了十分有用的建議。我也要感謝我在普林斯頓大學和華盛頓大學的學生們,當書稿在教學中使用時,他們的建議使書稿在許多表達方面得到了改進。同時感謝JanetParker夫人耐心稱職的秘書工作。
本書的初稿為1966年在普林斯頓的演講筆記,當時得到美國海軍研究辦公室基金NONR1858 (21)基金項目NR-047-002的資助。隨后,空軍科學研究局在華盛頓大學以基金AF-AFOSR-1202-67的形式給予了熱情的資助。如果沒有這些資助,本書的書寫工作也許會延緩、間斷。
R.T. 洛克菲勒