《實變函數(shù)/高等學(xué)校數(shù)學(xué)教材》包含集合的基本概念、歐氏空間Rn中的點集、Lebesgue測度、可測函數(shù)、Lebesgue積分、微分與不定積分和附錄等7章。通過將實變函數(shù)中的問題與學(xué)過的微積分內(nèi)容聯(lián)系起來,讓學(xué)生明白所有問題都有來源和出處,從而激發(fā)學(xué)習(xí)動力和興趣;同時介紹與實變函數(shù)有關(guān)的學(xué)科領(lǐng)域,讓學(xué)生了解實變函數(shù)的應(yīng)用;書中配備了一些插圖,盡可能將抽象的概念和定理轉(zhuǎn)化為直觀有形的事物,特別是對內(nèi)容之間的聯(lián)系盡可能從多個方面給予說明和解釋。另外,《實變函數(shù)/高等學(xué)校數(shù)學(xué)教材》配備了較多的習(xí)題,分成基本題和難題兩部分。作為教學(xué)基本要求,只要求學(xué)生完成基本題的部分;難題部分供機(jī)動使用,鼓勵有能力和有時間的一些學(xué)生去研究。
《實變函數(shù)/高等學(xué)校數(shù)學(xué)教材》可以作為數(shù)學(xué)系本科生的教材,也可作為其他理工科研究生教材或參考書。
1 集合的基本概念
1.1 集合與子集合
1.2 集合的運算
1.3 集列的極限
1.4 集合的映射與基數(shù)
1.5 可數(shù)集
1.6 不可數(shù)集
習(xí)題1
2 歐氏空間Rn中的點集
2.1 歐氏空間中的距離
2.2 鄰域·區(qū)間·有界集
2.3 聚點·導(dǎo)集·孤立點
2.4 內(nèi)點·外點·邊界點
2.5 開集·閉集·完備集
2.6 歐氏空間中的緊性
2.7 直線上的開集·閉集·完備集
2.8 Rn中開集的構(gòu)造
習(xí)題2
3 Lebesgue測度
3.1 Lebesgue外測度
3.2 可測集及其運算性質(zhì)
3.3 可測集的構(gòu)造
3.4 不可測集
3.5 可測空間與測度
習(xí)題3
4 可測函數(shù)
4.1 可測函數(shù)的定義及其性質(zhì)
4.2 可測函數(shù)與簡單函數(shù)
4.3 可測函數(shù)列的收斂
4.4 可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)
4.5 復(fù)合函數(shù)的可測性
習(xí)題4
5 Lebesgue積分
5.1 非負(fù)可測函數(shù)的積分
5.2 一般可測函數(shù)的積分
5.3 含參變量積分
5.4 Lebesgue積分與Riemann積分
5.5 重積分·累次積分·Fubini定理
習(xí)題5
6 微分與不定積分
6.1 單調(diào)函數(shù)的可微性
6.2 有界變差函數(shù)
6.3 □□連續(xù)函數(shù)與不定積分
6.4 積分換元公式
6.5 斯蒂爾切斯(Stieltjes)積分
習(xí)題6
7 附錄
7.1 數(shù)列的上下極限
7.2 策梅洛(Zermelo)選擇公理簡介
7.3 LP空間