序言 第 1章　柯尼斯堡七橋問(wèn)題 1 1.1 尤里 1 1.2 一筆畫問(wèn)題 2 1.3 從簡(jiǎn)單的圖開(kāi)始 7 1.4 圖與次數(shù) 11 1.5 這也是數(shù)學(xué)嗎 15 1.6 逆定理的證明 18 第 2章　默比烏斯帶和克萊因瓶 35 2.1 樓頂 35 2.1.1 泰朵拉 35 2.1.2 默比烏斯帶 36 2.2 教室 39 2.3 圖書室 40 2.3.1 米爾嘉 40 2.3.2 分類 43 2.3.3 閉曲面的分類 45 2.3.4 可定向曲面 46 2.3.5 不可定向曲面 49 2.3.6 展開(kāi)圖 51 2.3.7 連通和 63 2.4 歸途 72 第3章　泰朵拉的身邊 75 3.1 家人的身邊 75 3.2 0 的附近 77 3.2.1 練習(xí) 77 3.2.2 全等與相似 81 3.2.3 對(duì)應(yīng)關(guān)系 84 3.3 實(shí)數(shù)a的附近 86 3.3.1 全等、相似、同胚 86 3.3.2 連續(xù)函數(shù) 88 3.4 點(diǎn)a的附近 94 3.4.1 前往異世界的準(zhǔn)備 94 3.4.2 距離的世界：實(shí)數(shù)a 的δ 鄰域 95 3.4.3 距離的世界：開(kāi)集 96 3.4.4 距離的世界：開(kāi)集的性質(zhì) 98 3.4.5 旅程：從距離的世界到拓?fù)涞氖澜?101 3.4.6 拓?fù)涞氖澜纾洪_(kāi)集公理 103 3.4.7 拓?fù)涞氖澜纾洪_(kāi)鄰域 106 3.4.8 拓?fù)涞氖澜纾哼B續(xù)映射 108 3.4.9 同胚映射 115 3.4.10 不變性 116 3.5 泰朵拉的身邊 117 第4章　非歐幾何 123 4.1 球面幾何 123 4.2 現(xiàn)在和未來(lái)之間 130 4.3　雙曲幾何 131 4.3.1 所謂的“學(xué)習(xí)” 131 4.3.2 非歐幾何 132 4.3.3 鮑耶與羅巴切夫斯基 137 4.3.4 自己家 141 4.4 跳出勾股定理 142 4.4.1 理紗 142 4.4.2 距離的定義 143 4.4.3 龐加萊圓盤模型 145 4.4.4 半平面模型 152 4.5 超越平行公理 153 4.6 自己家 156 第5章　跳入流形 159 5.1 跳出日常 159 5.1.1 輪到我了 159 5.1.2 為了打倒惡龍 160 5.1.3 尤里的疑問(wèn) 161 5.1.4 考慮低維的情況 162 5.1.5 會(huì)歪成什么樣子呢 168 5.2 跳入非日常 174 5.2.1 櫻花樹(shù)下 174 5.2.2 內(nèi)外翻轉(zhuǎn) 175 5.2.3 展開(kāi)圖 177 5.2.4 龐加萊猜想 182 5.2.5 二維球面 183 5.2.6 三維球面 185 5.3 要跳入，還是跳出 187 5.3.1 醒過(guò)來(lái)時(shí) 187 5.3.2 Eulerians 188 第6章　捕捉看不到的形狀 193 6.1 捕捉形狀 193 6.1.1 沉默的形狀 193 6.1.2 問(wèn)題的形狀 195 6.1.3 發(fā)現(xiàn) 197 6.2 用群來(lái)捕捉形狀 199 6.2.1 以數(shù)為線索 199 6.2.2 線索是什么 204 6.3 用自環(huán)來(lái)捕捉形狀 206 6.3.1 自環(huán) 206 6.3.2 自環(huán)上的同倫 210 6.3.3 同倫類 213 6.3.4 同倫群 216 6.4 掌握球面 218 6.4.1 自己家 218 6.4.2 一維球面的基本群 218 6.4.3 二維球面的基本群 219 6.4.4 三維球面的基本群 221 6.4.5 龐加萊猜想 221 6.5 被限制的形狀 223 6.5.1 確認(rèn)條件 223 6.5.2 捕捉我所不知道的自己 225 第7章　微分方程的溫度 229 7.1 微分方程 229 7.1.1 音樂(lè)教室 229 7.1.2 教室 231 7.1.3 指數(shù)函數(shù) 236 7.1.4 三角函數(shù) 243 7.1.5 微分方程的目的 245 7.1.6 彈簧振動(dòng) 247 7.2 牛頓冷卻定律 253 第8章　高斯絕妙定理 263 8.1 車站前 263 8.1.1 尤里 263 8.1.2 讓人驚訝的事 267 8.2 自己家 268 8.2.1 媽媽 268 8.2.2 罕有之物 271 8.3 圖書室 272 8.3.1 泰朵拉 272 8.3.2 理所當(dāng)然的事 275 8.4 加庫(kù)拉 277 8.4.1 米爾嘉 277 8.4.2 傾聽(tīng) 277 8.4.3 解題 279 8.4.4 高斯曲率 283 8.4.5 絕妙定理 286 8.4.6 齊性和各向同性 288 8.4.7 回禮 289 第9章　靈感與毅力 291 9.1 三角函數(shù)訓(xùn)練 291 9.1.1 靈感與毅力 291 9.1.2 單位圓 292 9.1.3 正弦曲線 296 9.1.4 從旋轉(zhuǎn)矩陣到兩角和公式 297 9.1.5 從兩角和公式到積化和差公式 298 9.1.6 媽媽 300 9.2 合格判定模擬考 302 9.2.1 不要緊張 302 9.2.2 不要被騙 302 9.2.3 需要靈感還是毅力 305 9.3 看穿算式的形式 311 9.3.1 概率密度函數(shù)的研究 311 9.3.2 拉普拉斯積分的研究 317 9.4 傅里葉展開(kāi)式 322 9.4.1 靈感 322 9.4.2 傅里葉展開(kāi)式 324 9.4.3 超越毅力 329 9.4.4 超越靈感 331 第 10章　龐加萊猜想 335 10.1 公開(kāi)研討會(huì) 335 10.1.1 課程結(jié)束之后 335 10.1.2 午餐時(shí)間 336 10.2 龐加萊 337 10.2.1 形狀 337 10.2.2 龐加萊猜想 339 10.2.3 瑟斯頓的幾何化猜想 343 10.2.4 哈密頓的里奇流方程 345 10.3 數(shù)學(xué)家們 346 10.3.1 年表 346 10.3.2 菲爾茲獎(jiǎng) 348 10.3.3 千禧年大獎(jiǎng)難題 350 10.4 哈密頓 352 10.4.1 里奇流方程式 352 10.4.2 傅里葉的熱傳導(dǎo)方程 353 10.4.3 顛覆性的想法 354 10.4.4 哈密頓計(jì)劃 356 10.5 佩雷爾曼 359 10.5.1 佩雷爾曼的論文 359 10.5.2 再前進(jìn)一步 362 10.6 傅里葉 363 10.6.1 傅里葉的時(shí)代 363 10.6.2 熱傳導(dǎo)方程 364 10.6.3 分離變量法 368 10.6.4 重疊積分 370 10.6.5 傅里葉積分 371 10.6.6 觀察類似的式子 375 10.6.7 回到里奇流方程 376 10.7 我們 377 10.7.1 從過(guò)去到未來(lái) 377 10.7.2 冬天來(lái)了 378 10.7.3 春天不遠(yuǎn)了 379 尾聲 381 后記 385 參考文獻(xiàn)和導(dǎo)讀 389