《陜西省專升本考試考點精要·高等數(shù)學(xué)》包含陜西省普通高校�？茟�(yīng)屆畢業(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)招生考試要求的高等數(shù)學(xué)科目的基本內(nèi)容。本書結(jié)合陜西省專升本考試范圍、試卷評分、重難點知識以及近15年考試試題, 由中公教育陜西專升本考試研究院精心編寫。本書共包含八章內(nèi)容: 第一章為函數(shù)、極限、連續(xù), 主要講解函數(shù)、極限、連續(xù)的定義、運算及其基本性質(zhì); 第二章為一元函數(shù)微分學(xué), 主要講解導(dǎo)數(shù)與微分的概念、性質(zhì)及其計算, 微分中值定理, 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用; 第三章為一元函數(shù)積分學(xué), 主要講解原函數(shù)的概念, 不定積分的計算, 定積分的性質(zhì)。
Di Yi章函數(shù)、極限與連續(xù)
考情綜述
考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
題型精講
一、函數(shù)
二、極限
三、連續(xù)
專題精練
第二章一元函數(shù)微分學(xué)
考情綜述
考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
題型精講
一、導(dǎo)數(shù)的概念
二、導(dǎo)數(shù)的計算
三、微分中值定理
四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
專題精練
第三章一元函數(shù)積分學(xué)
考情綜述
考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
題型精講
一、原函數(shù)的概念
二、不定積分的計算
三、定積分的概念與性質(zhì)
四、定積分的計算
五、定積分的應(yīng)用
專題精練
第四章向量代數(shù)與空間解析幾何
考情綜述
考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
題型精講
一、向量的運算及性質(zhì)
二、空間平面與直線
專題精練
第五章多元函數(shù)微分學(xué)
考情綜述
考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
題型精講
一、多元函數(shù)的基本概念
二、偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算
三、多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用
專題精練
第六章多元函數(shù)積分學(xué)
考情綜述
考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
題型精講
一、二重積分的概念及性質(zhì)
二、二重積分的計算
三、曲線積分和格林公式
專題精練
第七章無窮級數(shù)
考情綜述
考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
題型精講
一、常數(shù)項級數(shù)的斂散性
二、冪級數(shù)
三、函數(shù)展開成冪級數(shù)
專題精練
第八章常微分方程
考情綜述
考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
題型精講
一、微分方程的基本概念
二、一階微分方程
三、二階常系數(shù)微分方程
專題精練
陜西省專升本考試考點精要·高等數(shù)學(xué)Di Yi章函數(shù)、極限與連續(xù)Di Yi章函數(shù)、極限與連續(xù)
考情綜述
考試大綱1.函數(shù)
（1）函數(shù)的概念及表示法；（2）函數(shù)的性質(zhì)；（3）反函數(shù)、隱函數(shù)和復(fù)合函數(shù)；（4）函數(shù)的運算
2.極限
（1）極限的概念和性質(zhì)；（2）極限存在的兩個準(zhǔn)則；（3）極限的性質(zhì)及四則運算法則；（4）無窮小量與無窮大量及無窮小的比較；（5）兩個重要極限；（6）求極限的方法
3.連續(xù)
（1）函數(shù)的連續(xù)性；（2）函數(shù)的間斷點及分類；（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)重難點重點1.函數(shù)的表達(dá)式；
2.無窮小的比較；
3.求極限的方法；
4.函數(shù)的間斷點；
5.函數(shù)的連續(xù)性難點1.求極限的方法；
2.函數(shù)的間斷點真題分布年份知識點占比2022求函數(shù)極限、間斷點的類型12%2021無窮小的比較、函數(shù)的連續(xù)、求函數(shù)極限12%2020求函數(shù)極限、間斷點的類型、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式18.7%2019求函數(shù)極限、間斷點的類型、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式18.7%2018求函數(shù)極限、間斷點的類型、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式18.7%2017求函數(shù)極限、間斷點的類型、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式18.7%2016求函數(shù)極限、間斷點的類型、利用無窮小的比較求參數(shù)12%2015求函數(shù)極限、間斷點的類型、利用無窮小的比較求參數(shù)12%考點精析
知識框架
基礎(chǔ)知識精講
一、函數(shù)
（一）函數(shù)的概念及表示法
1.定義
設(shè)x與y是兩個變量，D是實數(shù)集R的某個非空子集，若對于D中的每一個x，按照對應(yīng)法則f，總有唯一確定的值y與之對應(yīng)，則稱因變量y為自變量x的函數(shù)，記作y=f（x）。這里的D稱為函數(shù)f的定義域，相應(yīng)的函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域。
【注】①函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，它包括兩大要素：定義域和對應(yīng)法則。
②函數(shù)和變量的選取無關(guān)，只要定義域和對應(yīng)法則相同，不管用什么變量表示函數(shù)的自變量和因變量，函數(shù)都是一樣的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一個函數(shù)。
2.表示法
表示函數(shù)的主要方法有三種：解析法（公式法）、表格法、圖形法。
（1）解析法（公式法）：用數(shù)學(xué)式表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法。
（2）表格法：將一系列的自變量值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法。
（3）圖形法：用坐標(biāo)平面上的點集{P（x,y）y=f（x）,x∈D}來表示函數(shù)的方法。
（二）函數(shù)的性質(zhì)
1.有界性
設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，數(shù)集XD。如果存在正數(shù)M，使得對于任一x∈X，都有f（x）≤M，則稱f（x）在X上有界。如果這樣的M不存在，則稱f（x）在X上無界。
【注】①函數(shù)的有界性也可以通過上、下界的方式來定義：如果存在實數(shù)m和M，使得對任一x∈X，都有m≤f（x）≤M，則稱函數(shù)f（x）在X上有界。其中m和M分別稱為函數(shù)f（x）在X上的下界和上界。
②在上述定義中，m（M）是函數(shù)f（x）在X上的下（上）界，則任何比m�。ū萂大）的數(shù)，都是f（x）在X上的下（上）界。
③函數(shù)在X上有界的充要條件是它在X上既有上界又有下界。
2.單調(diào)性
設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間ID。如果對于區(qū)間I上任意兩點x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，恒有
f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），
則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。
單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。
（1）單調(diào)性的性質(zhì)：
①如果f1（x）,f2（x）都是增函數(shù)（或減函數(shù)），則f1（x） f2（x）也是增函數(shù)（或減函數(shù)）；
②設(shè)f（x）是增函數(shù)，如果常數(shù)C＞0，則C·f（x）是增函數(shù)，如果常數(shù)C＜0，則C·f（x）是減函數(shù)；
③如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相同，則函數(shù)y=f［g（x）］為增函數(shù)，如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相反，則函數(shù)y=f［g（x）］為減函數(shù)。
（2）常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
常見函數(shù)單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間y=x2 ax b- a2, ∞-∞,- a2y=ex（-∞, ∞）無y=lnx（0, ∞）無y=sinx2kπ- π2,2kπ π22kπ π2,2kπ 3π2y=cosx［2kπ-π,2kπ］［2kπ,2kπ π］y=1x無（-∞,0），（0, ∞）3.奇偶性
設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點對稱。如果對于任一x∈D，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù)；如果對于任一x∈D，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)。
（1）奇偶性的性質(zhì)：
①偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。
②如果f1（x）和f2（x）都是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），則對任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1 f1（x） k2 f2（x）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。
③如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相同，則f1（x）·f2（x）為偶函數(shù)；如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相反，則f1（x）·f2（x）為奇函數(shù)。
（2）常見的偶函數(shù)：
y=xk（k為偶數(shù)），y=cosx，y=x，
f（x），f（x） f（-x）2， f（x）·f（-x），其中f（x）是定義在對稱區(qū)間上的任意函數(shù)。
常見的奇函數(shù)：
y=xk（k為奇數(shù)），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln（x 1 x2），
f（x）-f（-x）2，其中f（x）是定義在對稱區(qū)間上的任意函數(shù)。
4.周期性
設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在一個正數(shù)T，使得對任一x∈D有x±T∈D，且f（x T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期。一般周期函數(shù)的周期是指最小正周期。
【注】①如果f（x）以T為最小正周期，則對任意的非零常數(shù)C，Cf（x）仍然以T為最小正周期， f（Cx）以TC為最小正周期。
②如果f1（x）和f2（x）都以T為周期，則對于任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1f1（x） k2f2（x）仍然以T為周期。注意這時最小正周期有可能縮小，如f1（x）=cos2x sinx,f2（x）=sinx都以2π為最小正周期，但f1（x）-f2（x）=cos2x以π為最小正周期。
（三）函數(shù)的運算
1.四則運算
設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的定義域分別為D1和D2，且D=D1∩D2≠，則這兩個函數(shù)經(jīng)過四則運算之后能形成新的函數(shù)：
和（差）運算：f（x）±g（x），x∈D；
積運算：f（x）·g（x），x∈D；
商運算：f（x）g（x），x∈D＼{xg（x）=0,x∈D}。
2.復(fù)合函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f（u）的定義域為D1，函數(shù)u=g（x）的定義域為D2。如果g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1，則可以定義函數(shù)y=f［g（x）］，x∈D2為函數(shù)f（u）與g（x）的復(fù)合函數(shù)，記作y=f［g（x）］或fg。
【注】①復(fù)合函數(shù)的基本思想是把y=f（x）,x∈D1中的x進(jìn)行推廣，變成一個新的函數(shù)，這是我們認(rèn)識和理解函數(shù)的基本方式。
②注意能夠進(jìn)行復(fù)合的前提條件是g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1。如果該條件不滿足，只要g（x）的值域g（D2）和f（u）的定義域D1的交集不是空集，復(fù)合運算也可以進(jìn)行，只不過此時復(fù)合之后函數(shù)的定義域變成了{(lán)xx∈D2且g（x）∈D1}。
3.反函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，其值域為f（D）。如果對于每一個y∈f（D），都有唯一確定的x∈D，使得y=f（x）（我們將該對應(yīng)法則記作f -1），則這個定義在f（D）上的函數(shù)x=f -1（y）就稱為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)。
【注】①不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)。函數(shù)y=f（x）,x∈D存在反函數(shù)的充要條件是對于定義域D中任意兩個不相等的自變量x1,x2，有f（x1）≠f（x2）。一般來說，嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)一定有反函數(shù)。
②在同一坐標(biāo)平面上，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱。
（四）常見的函數(shù)類型
1.初等函數(shù)
（1）常用的基本初等函數(shù)有五類：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。
函數(shù)
名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖像函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)
函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）a）不論x為何值，y總為正數(shù);
b）當(dāng)x=0時，y=1對數(shù)
函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1） a）其圖像總位于y軸右側(cè)，恒過（1，0）點；
b）當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=logax在區(qū)間（0，1）的值為負(fù)，在區(qū)間（1， ∞）的值為正，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增冪函數(shù)y=xa，a為任意實數(shù)
這里只畫出部分函數(shù)圖像的
Di Yi象限部分 令a=mn（mn是最簡分?jǐn)?shù)），則
a）當(dāng)m為偶數(shù)、n為奇數(shù)時，xa是偶函數(shù);
b）當(dāng)m，n都是奇數(shù)時，xa是奇函數(shù)；
c）當(dāng)m為奇數(shù)、n為偶數(shù)時，xa沒有奇偶性三角
函數(shù)y=sinx（正弦函數(shù)）
這里只寫出了正弦函數(shù) a）正弦函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)；
b）正弦函數(shù)是奇函數(shù)且sinx≤1反三角
函數(shù)y=arcsinx（反正弦函數(shù)）
這里只寫出了反正弦函數(shù)由于此對應(yīng)法則確定了一個多值函數(shù)，因此將此值域限制在- π2，π2，并稱其為反正弦函數(shù)的主值（2）初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)。
2.分段函數(shù)
對于自變量的不同取值范圍，有不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)叫作分段函數(shù)。
（1）分段函數(shù)的基本形式：
f（x）=f1（x），x∈I1，f2（x），x∈I2，fn（x），x∈In。
（2）隱含的分段函數(shù)：
①絕對值函數(shù)：
f（x）=x=x，x≥0，-x，x＜0，
其定義域是（-∞， ∞），值域是［0， ∞）。
②取整函數(shù)：f（x）=［x］表示不超過x的最大整數(shù)。
③最大值、最小值函數(shù)：y=max{f（x），g（x）}，y=min{f（x），g（x）}。
3.隱函數(shù)
如果變量x和y滿足方程F（x,y）=0，當(dāng)x取區(qū)間I內(nèi)的任一值時，相應(yīng)地總有滿足該方程的唯一的y值存在，則這樣確定的函數(shù)關(guān)系y=y（x）稱為由方程F（x,y）=0確定的隱函數(shù)。
4.由參數(shù)方程定義的函數(shù)
若參數(shù)方程x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β確定了y與x間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。
二、極限
（一）極限的概念
1.數(shù)列極限
設(shè){xn}為一數(shù)列，a為常數(shù)，則limn→∞xn=a對任意的ε＞0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，有xn-a＜ε。
【注】①數(shù)列極限limn→∞xn=a的含義：當(dāng)n無限增大時，數(shù)列的值無限趨近于a。
②對極限過程n→∞要注意兩點：一是這里的無窮一定是正無窮；二是n只能取正整數(shù)。
2.函數(shù)極限
設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，A為一個常數(shù)，則limx→∞ f（x）=A對任意的ε＞0，存在X＞0，使得當(dāng)x＞X時，有f（x）-A＜ε。類似可定義limx→ ∞ f（x）=A，limx→-∞ f（x）=A。
【注】①函數(shù)極限limx→∞ f（x）=A的含義：當(dāng)x的絕對值無限增大時，函數(shù)值無限趨近于A。注意這里的x可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。
②limx→∞ f（x）=A的充要條件是li
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