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《廣東省專升本考試考點精要·高等數(shù)學》包含廣東省普通高校�？茟獙卯厴I(yè)生進入本科階段學習招生考試要求的高等數(shù)學科目的基本內(nèi)容。本書結(jié)合廣東省專升本考試范圍、試卷評分、重難點知識以及近15年考試試題, 由中公教育廣東專升本考試研究院精心編寫。本書共包含八章內(nèi)容: 第一章為函數(shù)、極限、連續(xù), 主要講解函數(shù)、極限、連續(xù)的定義、運算及其基本性質(zhì); 第二章為一元函數(shù)微分學, 主要講解導數(shù)與微分的概念、性質(zhì)及其計算, 微分中值定理, 導數(shù)的應用; 第三章為一元函數(shù)積分學, 主要講解原函數(shù)的概念, 不定積分的計算。

章函數(shù)、極限與連續(xù) 考情綜述考試大綱1.映射與函數(shù) （1）函數(shù)的定義域；（2）函數(shù)的性質(zhì) 2.極限（1）數(shù)列的極限；（2）函數(shù)的極限；（3）無窮小與無窮大；（4）極限運算法則；（5）極限存在準則、兩個重要極限；（6）無窮小的比較 3.連續(xù) （1）函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；（2）連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性；（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)重難點重點1.極限的概念與計算； 2.函數(shù)的連續(xù)性與間斷點難點1.極限的概念； 2.無窮小的比較； 3.函數(shù)的間斷點真題分布年份知識點占比2022函數(shù)連續(xù)求參數(shù)、重要極限、無窮小的比較、洛必達法則求極限15%2021等價無窮小替換、函數(shù)的間斷點、無窮小的比較、函數(shù)極限的計算15%2020極限的四則運算、函數(shù)的連續(xù)性6%2019函數(shù)極限存在的條件、函數(shù)的間斷點6%2018無窮小的性質(zhì)、重要極限、函數(shù)的連續(xù)性9%2017極限的計算、重要極限、等價無窮小替換9%2016函數(shù)的連續(xù)性、重要極限、無窮小的比較11%2015無窮小的比較、函數(shù)的連續(xù)性9%考點精析知識框架基礎(chǔ)知識精講一、函數(shù) （一）函數(shù)的概念及表示法 1.定義設(shè)x與y是兩個變量，D是實數(shù)集R的某個非空子集，若對于D中的每一個x，按照對應法則f，總有確定的值y與之對應，則稱因變量y為自變量x的函數(shù)，記作y=f（x）。這里的D稱為函數(shù)f的定義域，相應的函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域。
    【注】①兩個元素的集之間元素相互對應的關(guān)系稱為映射，函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，它包括兩大要素：定義域和對應法則。
    ②函數(shù)和變量的選取無關(guān)，只要定義域和對應法則相同，不管用什么變量表示函數(shù)的自變量和因變量，函數(shù)都是一樣的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一個函數(shù)。
    2.表示法表示函數(shù)的主要方法有三種：解析法（公式法）、表格法、圖形法。
    （1）解析法（公式法）：用數(shù)學式表示自變量和因變量之間的對應關(guān)系的方法。
    （2）表格法：將一系列的自變量值與對應的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法。
    （3）圖形法：用坐標平面上的點集{P（x,y）y=f（x）,x∈D}來表示函數(shù)的方法。
    （二）函數(shù)的性質(zhì) 1.有界性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，數(shù)集XD。如果存在正數(shù)M，使得對于任一x∈X，都有f（x）≤M，則稱f（x）在X上有界。如果這樣的M不存在，則稱f（x）在X上無界。
    【注】①函數(shù)的有界性也可以通過上、下界的方式來定義：如果存在實數(shù)m和M，使得對任一x∈X，都有m≤f（x）≤M，則稱函數(shù)f（x）在X上有界。其中m和M分別稱為函數(shù)f（x）在X上的下界和上界。
    ②在上述定義中，m（M）是函數(shù)f（x）在X上的下（上）界，則任何比m�。ū萂大）的數(shù)，都是f（x）在X上的下（上）界。
    ③函數(shù)在X上有界的充要條件是它在X上既有上界又有下界。
    2.單調(diào)性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間ID。如果對于區(qū)間I上任意兩點x1，x2，當x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。
    單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。
    （1）單調(diào)性的性質(zhì)： ①如果f1（x）,f2（x）都是增函數(shù)（或減函數(shù)），則f1（x）+f2（x）也是增函數(shù)（或減函數(shù)）。
    ②設(shè)f（x）是增函數(shù)，如果常數(shù)C＞0，則C·f（x）是增函數(shù)；如果常數(shù)C＜0，則C·f（x）是減函數(shù)。
    ③如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相同，則函數(shù)y=f［g（x）］為增函數(shù)，如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相反，則函數(shù)y=f［g（x）］為減函數(shù)。
    （2）常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：常見函數(shù)單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間y=x2+ax+b- a2,+∞-∞,- a2y=ex（-∞,+∞）無y=lnx（0,+∞）無y=sinx2kπ- π2,2kπ+ π22kπ+ π2,2kπ+ 3π2y=cosx［2kπ-π,2kπ］［2kπ,2kπ+π］y=1x無（-∞,0），（0,+∞）3.奇偶性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點對稱。如果對于任一x∈D，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù)；如果對于任一x∈D，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)。
    （1）奇偶性的性質(zhì)： ①偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。
    ②如果f1（x）和f2（x）都是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），則對任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1 f1（x）+k2 f2（x）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。
    ③如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相同，則f1（x）·f2（x）為偶函數(shù)；如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相反，則f1（x）·f2（x）為奇函數(shù)。
    （2）常見的偶函數(shù)： y=xk（k為偶數(shù)），y=cosx，y=x， f（x），f（x）+f（-x）2， f（x）·f（-x），其中f（x）是定義在對稱區(qū)間上的任意函數(shù)。
    常見的奇函數(shù)： y=xk（k為奇數(shù)），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln（x+1+x2）， f（x）-f（-x）2，其中f（x）是定義在對稱區(qū)間上的任意函數(shù)。
    4.周期性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在一個正數(shù)T，使得對任一x∈D有x±T∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期。一般周期函數(shù)的周期是指小正周期。
    【注】①如果f（x）以T為小正周期，則對任意的非零常數(shù)C，Cf（x）仍然以T為小正周期， f（Cx）以TC為小正周期。
    ②如果f1（x）和f2（x）都以T為周期，則對于任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1f1（x）+k2f2（x）仍然以T為周期。注意這時小正周期有可能縮小，如f1（x）=cos2x+sinx,f2（x）=sinx都以2π為小正周期，但f1（x）-f2（x）=cos2x以π為小正周期。
    （三）函數(shù)的運算 1.四則運算設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的定義域分別為D1和D2，且D=D1∩D2≠，則這兩個函數(shù)經(jīng)過四則運算之后能形成新的函數(shù)：和（差）運算：f（x）±g（x），x∈D；積運算：f（x）·g（x），x∈D；商運算：f（x）g（x），x∈D＼{xg（x）=0,x∈D}。
    2.復合函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f（u）的定義域為D1，函數(shù)u=g（x）的定義域為D2。如果g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1，則可以定義函數(shù)y=f［g（x）］，x∈D2為函數(shù)f（u）與g（x）的復合函數(shù)，記作y=f［g（x）］或fg。
    【注】①復合函數(shù)的基本思想是把y=f（x）,x∈D1中的x進行推廣，變成一個新的函數(shù)，這是我們認識和理解函數(shù)的基本方式。
    ②注意能夠進行復合的前提條件是g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1。如果該條件不滿足，只要g（x）的值域g（D2）和f（u）的定義域D1的交集不是空集，復合運算也可以進行，只不過此時復合之后函數(shù)的定義域變成了{xx∈D2且g（x）∈D1}。
    3.反函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，其值域為f（D）。如果對于每一個y∈f（D），都有確定的x∈D，使得y=f（x）（我們將該對應法則記作f -1），則這個定義在f（D）上的函數(shù)x=f -1（y）就稱為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)。
    【注】①不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)。函數(shù)y=f（x）,x∈D存在反函數(shù)的充要條件是對于定義域D中任意兩個不相等的自變量x1,x2，有f（x1）≠f（x2）。一般來說，嚴格單調(diào)的函數(shù)一定有反函數(shù)。
    ②在同一坐標平面上，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱。
    （四）常見的函數(shù)類型 1.初等函數(shù) （1）常用的基本初等函數(shù)有五類：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。
    函數(shù) 名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖像函數(shù)的性質(zhì)指數(shù) 函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）a）不論x為何值，y總為正數(shù); b）當x=0時，y=1對數(shù) 函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1） a）其圖像總位于y軸右側(cè)，恒過（1，0）點； b）當a＞1時，函數(shù)y=logax在區(qū)間（0，1）的值為負，在區(qū)間（1，+∞）的值為正，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增冪函數(shù)y=xa，a為任意實數(shù) 這里只畫出部分函數(shù)圖像的象限部分令a=mn（mn是簡分數(shù)），則 a）當m為偶數(shù)、n為奇數(shù)時，xa是偶函數(shù); b）當m，n都是奇數(shù)時，xa是奇函數(shù)； c）當m為奇數(shù)、n為偶數(shù)時，xa沒有奇偶性（續(xù)表）函數(shù) 名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖像函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)y=sinx（正弦函數(shù)）這里只寫出了正弦函數(shù) a）正弦函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)； b）正弦函數(shù)是奇函數(shù)且sinx≤1反三角函數(shù)y=arcsinx（反正弦函數(shù)）這里只寫出了反正弦函數(shù)由于此對應法則確定了一個多值函數(shù)，因此將此值域限制在- π2，π2，并稱其為反正弦函數(shù)的主值（2）初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)。
    2.分段函數(shù) （1）分段函數(shù)的基本形式： f（x）=f1（x），x∈I1，f2（x），x∈I2，︙︙fn（x），x∈In。
    （2）隱含的分段函數(shù)： ① 值函數(shù)： f（x）=x=x，x≥0，-x，x＜0，其定義域是（-∞，+∞），值域是［0，+∞）。
    ②取整函數(shù)：f（x）=［x］表示不超過x的整數(shù)。
    ③ 值、小值函數(shù)：y=max{f（x），g（x）}，y=min{f（x），g（x）}。
    3.隱函數(shù) 如果變量x和y滿足方程F（x,y）=0，當x取區(qū)間I內(nèi)的任一值時，相應地總有滿足該方程的的y值存在，則這樣確定的函數(shù)關(guān)系y=y（x）稱為由方程F（x,y）=0確定的隱函數(shù)。
    4.由參數(shù)方程定義的函數(shù) 若參數(shù)方程x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β確定了y與x間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。
    二、極限（一）極限的概念 1.數(shù)列極限設(shè){xn}為一數(shù)列，a為常數(shù)，則limn→∞xn=a對任意的ε＞0，存在正整數(shù)N，使得當n＞N時，有xn-a＜ε。
    【注】①數(shù)列極限limn→∞xn=a的含義：當n無限增大時，數(shù)列的值無限趨近于a。
    ②對極限過程n→∞要注意兩點：一是這里的無窮一定是正無窮；二是n只能取正整數(shù)。
    2.函數(shù)極限設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，A為一個常數(shù)，則limx→∞ f（x）=A對任意的ε＞0，存在X＞0，使得當x＞X時，有f（x）-A＜ε。類似可定義limx→+∞ f（x）=A，limx→-∞ f（x）=A。
    【注】①函數(shù)極限limx→∞ f（x）=A的含義：當x的值無限增大時，函數(shù)值無限趨近于A。注意這里的x可以是正數(shù)也可以是負數(shù)。
    ②limx→∞ f（x）=A的充要條件是limx→-∞ f（x）=limx→+∞ f（x）=A。
    設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，A為一個常數(shù)，則limx→x0 f（x）=A對任意的ε＞0，存在δ＞0，當0＜x-x0＜δ時，有f（x）-A＜ε。
    【注】①注意這里

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