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這本易于理解的教科書/參考書從算法的角度簡要介紹了數(shù)學(xué)分析，特別著重于分析的應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的各個方面。不僅描述了數(shù)學(xué)理論以及數(shù)值分析的基本概念和方法，還包含大量使用MATLAB、Python、Maple和Java applet的計算機實驗。本版進行了大量更新和擴展，提供更多的編程練習(xí)。

第 2 版前言

很高興 Springer 出版社能夠出版 Analysis for Computer Scientists 的第 2 版. 我們?nèi)匀?
確信，在第 1 版中開發(fā)的算法是呈現(xiàn)分析主題的恰當(dāng)方法. 因此，此處并沒有做較大的改變.
但本次修訂添加和更新了部分材料，特別是增加了雙曲函數(shù)并給出了一些空間曲線和曲面
的細節(jié). 增加了兩節(jié)新內(nèi)容：一節(jié)是有關(guān)二階微分方程的，另一節(jié)是有關(guān)擺方程的. 此外，練
習(xí)部分也做了相當(dāng)大的擴展，統(tǒng)計數(shù)據(jù)也進行了適當(dāng)更新.
由于 Matlab 程序?qū)Ρ緯拍罘浅Ｖ匾晕覀儧Q定額外用 Python 實現(xiàn)這些程序以
方便讀者閱讀.
感謝 Springer 出版社的編輯，特別是 Simon Rees 和 Wayne Wheeler，感謝他們在第 2 版
準(zhǔn)備過程中的支持.

Michael Oberguggenberger
Alexander Ostermann
于奧地利因斯布魯克
2018 年 3 月

第 1 版前言

數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)模型在計算機科學(xué)中至關(guān)重要. 因此，必須要重新考慮計算機科學(xué)專業(yè)講授的
數(shù)學(xué)概念，并且適當(dāng)?shù)剡x擇相關(guān)材料，調(diào)整學(xué)習(xí)動機. 這尤其適用于數(shù)學(xué)分析，分析的重要性
在離散結(jié)構(gòu)占主導(dǎo)的環(huán)境中尤其突出. 一方面，計算機科學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析課程必須涵蓋必要
的基礎(chǔ)知識；另一方面，它必須傳達數(shù)學(xué)分析在應(yīng)用，特別是計算機科學(xué)家在其專業(yè)生涯中將
會遇到的應(yīng)用中的重要性.
我們認為有必要更新計算機科學(xué)中數(shù)學(xué)教學(xué)的原則，并根據(jù)當(dāng)代的要求對教學(xué)進行重組.
這本基于以下概念編寫的教材就試圖對這一問題給出答案：
1. 算法方法；
2. 簡潔的陳述；
3. 將數(shù)學(xué)軟件作為一個重要組成部分融入書中；
4. 強調(diào)建模和分析的應(yīng)用.
本書涉及數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)和應(yīng)用. 在這一領(lǐng)域中，算法思維非常重要. 本書選擇的算法
圍繞以下幾方面：
a. 從算法的角度建立分析學(xué)中的概念；
b. 使用 Matlab、maple 及 Java 程序進行演示和解釋；
c. 通過計算機實驗和編程練習(xí)激發(fā)讀者主動了解相關(guān)主題；
d. 與基本概念和數(shù)值分析方法結(jié)合的數(shù)學(xué)理論.
簡潔的陳述意味著本書主要介紹各主題的基本思想. 例如，本書不討論一般冪級數(shù)的收斂
性理論，但會給出泰勒展開式余項的估計. （本書之所以介紹泰勒展開式，是因為它是建模和
數(shù)值分析過程中不可或缺的方法. ）考慮到易讀性，只有能夠引入基本思想并對理解概念有貢
獻的證明才會在正文中給出細節(jié). 繼續(xù)上面的例子，泰勒展開式余項的積分表示利用分部積分
方法進行了推導(dǎo). 與此相反，需要用到積分中值定理的拉格朗日型的余項則被忽略了. 盡管如
此，本書努力保持內(nèi)容的自洽性. 本書特別強調(diào)幾何直觀性，這可以通過書中大量的圖示看出.
本書涵蓋了從數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)知識到有趣應(yīng)用的所有內(nèi)容（同樣是站在計算機科學(xué)的角度進
行選擇的），例如分形、L 系統(tǒng)、曲線和曲面、線性回歸、微分方程和動力系統(tǒng). 這些主題為數(shù)
學(xué)模型提供了堅實的基礎(chǔ).
本書英文版是在 2005 年（第 2 版在 2009 年）出版的德文原版的一個譯本. 本書保持了德
文原版的結(jié)構(gòu)，但對部分內(nèi)容的表述做了一些改進.
本書的內(nèi)容如下：第 1～8 章、第 10～12 章和第 14～17 章介紹分析學(xué)的基本概念，第 9 章、
第 13 章和第 18～21 章介紹重要的應(yīng)用和很多高級的主題. 附錄 A 和 B 匯總了一些向量和矩
VI
陣代數(shù)中的工具，附錄 C 給出了正文內(nèi)容中有意忽略的一些細節(jié). 書中所用的軟件是本書概念
的組成部分，在附錄 D 中對它們進行了匯總. 每一章開始都有一個簡要的介紹. 計算機實驗進
一步豐富了書中的內(nèi)容，激發(fā)讀者主動學(xué)習(xí)相關(guān)的主題. 最后，每一章都給出了練習(xí)，其中的
一半都需要借助計算機程序來完成.
感謝 Elisabeth Bradley 對本書翻譯提供的幫助. 感謝 Springer 出版社的編輯，特別是
Simon Rees 和 Wayne Wheeler，感謝他們在準(zhǔn)備本書的英文文檔時提供的支持和建議.

Michael Oberguggenberger
Alexander Ostermann
于奧地利因斯布魯克
2011 年 1 月

目錄
譯者序
第 2 版前言
第 1 版前言
第 1 章數(shù)　　　　　　　1
1.1 實數(shù)　　　　　　　　 1
1.2 序關(guān)系和 R 上的算術(shù)　　　　4
1.3 機器數(shù)　　　　　　　　　　　　　　7
1.4 舍入　　　　　　　　　　　　　　　 8
1.5 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　 9
第 2 章實值函數(shù)　　　　　　　　　 11
2.1 基本概念　　　　　　　　　　　　 11
2.2 一些初等函數(shù)　　　　　　　　　 14
2.3 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　　21
第 3 章三角學(xué)　　　　　　　　　　　 24
3.1 三角形中的三角函數(shù)　　　　　24
3.2 三角函數(shù)推廣到 R 上　　　　 26
3.3 環(huán)形函數(shù)　　　　　　　　　　　　　28
3.4 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　　30
第 4 章復(fù)數(shù)　　　　　　　　　　　　　33
4.1 復(fù)數(shù)的概念　　　　　　　　　　 33
4.2 復(fù)指數(shù)函數(shù)　　　　　　　　　　 35
4.3 復(fù)函數(shù)的映射性質(zhì)　　　　　 37
4.4 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　38
第 5 章序列和級數(shù)　　　　　　　 40
5.1 無窮序列的概念　　　　　　　40
5.2 實數(shù)集的完備性　　　　　　　45
5.3 無窮級數(shù)　　　　　　　　　　　　47
5.4 補充材料：序列的聚點　　 50
5.5 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　53
第 6 章函數(shù)的極限和連續(xù)　　 56
6.1 連續(xù)的概念　　　　　　　　　　56
6.2 三角函數(shù)的極限　　　　　　　59
6.3 連續(xù)函數(shù)的零點　　　　　　　61
6.4 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　63
第 7 章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　　　　　　　 65
7.1 動機　　　　　　　　　　　　　　　65
7.2 導(dǎo)數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　66
7.3 導(dǎo)數(shù)的解釋　　　　　　　　　　70
7.4 微分法則　　　　　　　　　　　 72
7.5 數(shù)值微分　　　　　　　　　　　 78
7.6 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　82
第 8 章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用　　　　　　　 84
8.1 曲線繪制　　　　　　　　　　　　84
8.2 牛頓法　　　　　　　　　　　　　 88
8.3 通過原點的回歸線　　　　　 92
8.4 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　94
第 9 章分形和 L 系統(tǒng)　　　　　 97
9.1 分形　　　　　　　　　　　　　　　97
9.2 曼德布羅特集　　　　　　　　 103
9.3 茹利亞集　　　　　　　　　　　　104
9.4 C 中的牛頓法　　　　　　　　　105
9.5 L 系統(tǒng)　　　　　　　　　　　　　　106
9.6 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　　109
第 10 章積分　　　　　　　　　　　110
10.1 不定積分　　　　　　　　　　 110
10.2 積分公式　　　　　　　　　　 112
10.3 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　 115
第 11 章定積分　　　　　　　　　117
11.1 黎曼積分　　　　　　　　　　 117
11.2 微積分基本定理　　　　　　122
11.3 定積分的應(yīng)用　　　　　　　 124
11.4 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　 126
第 12 章泰勒級數(shù)　　　　　　　 128
12.1 泰勒公式　　　　　　　　　　 128
12.2 泰勒定理　　　　　　　　　　 131
12.3 泰勒公式的應(yīng)用　　　　　 132
12.4 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　 134
第 13 章數(shù)值積分　　　　　　　 136
13.1 求積公式　　　　　　　　　　 136
13.2 精度與計算成本　　　　　　140
13.3 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　 142
第 14 章曲線　　　　　　　　　　　144
14.1 平面中的參數(shù)化曲線　　 144
14.2 弧長和曲率　　　　　　　　　150
14.3 極坐標(biāo)中的平面曲線　　 156
14.4 參數(shù)化的空間曲線　　　　158
14.5 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　 160
第 15 章二元標(biāo)量值函數(shù)　　 164
15.1 圖像與部分映射　　　　　 164
15.2 連續(xù)性　　　　　　　　　　　　166
15.3 偏導(dǎo)數(shù)　　　　　　　　　　　　167
15.4 弗雷歇導(dǎo)數(shù)　　　　　　　　　170
15.5 方向?qū)?shù)與梯度　　　　　　174
15.6 二元函數(shù)泰勒公式　　　　 176
15.7 局部極大值和極小值　　　177
15.8 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　180
第 16 章二元向量值函數(shù)　　　183
16.1 向量場及雅可比矩陣　　 183
16.2 二元牛頓法　　　　　　　　　185
16.3 參數(shù)曲面　　　　　　　　　　 187
16.4 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　 189
第 17 章二元函數(shù)的積分　　 191
17.1 二重積分　　　　　　　　　　 191
17.2 二重積分的應(yīng)用　　　　　　196
17.3 變換公式　　　　　　　　　　 198
17.4 練習(xí)　　　　　　　　　　　　　　201
第 18 章線

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