函數(shù)與導數(shù)相關題目歷年來都是高考中的難點, 題型千變萬化。 本書從基本的做題方法著手, 整理了不同的導數(shù)題型, 由淺入深地講解了導數(shù)問題的基本解答技巧, 特別針對多變量問題、極值點偏移問題、隱零點問題、復雜函數(shù)問題、函數(shù)與數(shù)列結合的問題進行了詳細介紹。
本書是作者多年來輔導高中生學習數(shù)學的經驗結晶, 適合進行高考復習的高中生和相關高中數(shù)學老師閱讀。
作者有充分的知識儲備。在數(shù)學方面，作者是知乎數(shù)學話題答主，并受過數(shù)學專業(yè)的高等教育，目前是北京大學數(shù)學科學學院在讀博士。與長期在高中教學的數(shù)學老師相比，作者對數(shù)學的理解更好、視角更高。
本書經過實踐驗證。本書是作者根據三年的高中輔導經驗整理而成的，成功使多名高中生學會了導數(shù)問題的解法，同時圍繞高考真題，難度適合目標群體。
本書語言風格更好。作者在知乎上獲得了15萬的關注與21萬的收藏，多篇與導數(shù)相關的文章點贊數(shù)過千。本書延續(xù)了作者在知乎上寫作的風格，邏輯清晰，梳理方法，不拗口不教條，適合學生閱讀。
董晟渤，本科就讀于西安交通大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，以專業(yè)第一的成績保送北京大學數(shù)學科學學院，目前是概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)在讀直博生。知乎數(shù)學話題答主，目前有15萬的關注與21萬的收藏，多篇高中數(shù)學相關文章獲得了過千的點贊與收藏。有三年輔導高中生學數(shù)學的經驗，主要講解內容即為本書內容，并獲得學生的一致好評。多名學生成功在數(shù)學上提分，被西安交通大學、廈門大學等985院校錄取。
第 1 講 函數(shù)與導數(shù)的定義 1
1.1 函數(shù)的定義與性質 1
1.1.1 定義與常用函數(shù)1
1.1.2 函數(shù)的基本性質2
1.1.3 函數(shù)的零點問題5
1.1.4 函數(shù)定義的推廣 5
1.2 導數(shù)的定義與性質 6
1.2.1 定義與基本性質6
1.2.2 取對數(shù)求導法與隱函數(shù)求導法 8
1.3 導數(shù)的應用 9
1.3.1 單調性與極值點9
1.3.2 凹凸性與拐點 12
1.3.3 證明不等式 15
1.4 課后練習 17
第 2 講 分類討論與分離變量 18
2.1 分類討論的常見策略18
2.1.1 矛盾區(qū)間法 18
2.1.2 端點效應 19
2.1.3 必要性探路 20
2.1.4 多次求導 22
2.2 分離變量的策略與缺陷 24
2.2.1 分離變量的思路 24
2.2.2 洛必達法則 26
2.2.3 繞開洛必達法則 28
2.3 解題中的因式分解29
2.3.1 多項式的除法 29
2.3.2 二次方程的十字相乘30
2.4 課后練習 32
第 3 講 函數(shù)不等式 33
3.1 常見函數(shù)不等式33
3.1.1 基本函數(shù)不等式 33
3.1.2 指數(shù)函數(shù)不等式 35
3.1.3 對數(shù)函數(shù)不等式 38
3.1.4 對數(shù)分式不等式 40
3.1.5 對數(shù)分式不等式的積分證法 43
3.1.6 對數(shù)平均不等式 43
3.1.7 三角函數(shù)不等式45
3.2 函數(shù)不等式的應用 46
3.2.1 巧用 放縮 的手段 46
3.2.2 放縮取點的技巧 47
3.3 自然常數(shù) e 與指數(shù)函數(shù) 48
3.3.1 復利問題與指數(shù)函數(shù)48
3.3.2 微分方程與指數(shù)函數(shù) 49
3.4 函數(shù)的展開式及其應用 49
3.5 課后練習 53
第 4 講 多變量問題 54
4.1 偏導數(shù)及其應用54
4.1.1 偏導數(shù)的引入與意義54
4.1.2 偏導數(shù)的應用 55
4.1.3 拉格朗日乘子法 59
4.1.4 存在型多變量問題 60
4.2 有關系的雙變量問題 60
4.2.1 利用齊次建立關系 60
4.2.2 利用韋達定理建立關系62
4.3 函數(shù)的中值定理及其應用 63
4.4 課后練習 66
第 5 講 極值點偏移 67
5.1 極值點偏移的基本處理方法 67
5.1.1 確定參數(shù)的取值范圍67
5.1.2 對稱化構造 68
5.1.3 對數(shù)平均不等式 69
5.1.4 換元與消元 70
5.2 極值點偏移的變形 72
5.2.1 不同的極值點 72
5.2.2 乘積型極值點偏移 73
5.2.3 加強不等式 74
5.2.4 拐點偏移 75
5.3 構造函數(shù)逼近原函數(shù)76
5.3.1 極值點偏移的新方法76
5.3.2 零點差問題的處理策略78
5.4 課后練習 82
第 6 講 隱零點問題 84
6.1 隱零點問題的分析 84
6.2 隱零點問題的處理手段 87
6.2.1 消去變量 87
6.2.2 消去參數(shù)88
6.3 隱零點問題的推廣 92
6.3.1 兩函數(shù)的公切線問題92
6.3.2 朗博 W 函數(shù)及其應用 96
6.4 課后練習100
第 7 講 復雜函數(shù)問題101
7.1 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的 同構 101
7.2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)結合 104
7.2.1 證明不等式 104
7.2.2 凹凸性反轉的技巧 107
7.2.3 分類討論問題 107
7.3 三角函數(shù)與其他函數(shù)結合109
7.3.1 借助三角函數(shù)的性質109
7.3.2 轉化為其他函數(shù) 112
7.4 三次函數(shù)的分析 115
7.4.1 三次函數(shù)的圖像與單調性 115
7.4.2 與三次函數(shù)相關的高考題116
7.5 課后練習 121
第 8 講 函數(shù)與數(shù)列結合 122
8.1 遞推數(shù)列相關問題 122
8.1.1 一階遞推數(shù)列的不動點法 122
8.1.2 高階遞推數(shù)列的特征根法 125
8.1.3 函數(shù)遞推式 126
8.2 數(shù)列求和與不等式128
8.2.1 對數(shù)求和相關不等式 129
8.2.2 連乘積相關不等式 131
8.2.3 借助積分放縮 133
8.3 課后練習 135
第 9 講 2024 年高考導數(shù)真題解析136
9.1 三次函數(shù)問題136
9.2 分類討論問題137
9.3 多變量問題 140
9.4 其他導數(shù)問題144
第 10 講 微積分選講 147
10.1 從實數(shù)到無窮大 147
10.1.1 實數(shù)的定義 147
10.1.2 無窮大的勢 148
10.2 極限的定義149
10.2.1 數(shù)列的極限 150
10.2.2 函數(shù)的極限151
10.3 微分與積分153
10.3.1 導數(shù)與微分 153
10.3.2 定積分與微積分基本定理 154
課后練習參考答案 157
附錄 常用函數(shù)的圖像 183
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