目錄
譯者序
俄文版序言
英文版前言
俄文版前言
分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)主要形式的符號(hào)
歷史簡(jiǎn)述
第一章 區(qū)間上的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 1
1 預(yù)備知識(shí) 1
1.1 Hλ與Hλ（ρ）空間 1
1.2 Lp與Lp（ρ）空間 6
1.3 一些特殊函數(shù) 11
1.4 積分變換 19
2 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分與導(dǎo)數(shù) 24
2.1 Abel 積分方程 24
2.2 Abel 方程在可積函數(shù)空間中的可解性 25
2.3 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的定義及其最簡(jiǎn)單性質(zhì) 27
2.4 復(fù)分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 31
2.5 一些初等函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分 33
2.6 分?jǐn)?shù)階積分和微分的逆運(yùn)算 35
2.7 復(fù)合公式與算子半群的聯(lián)系 38
3 H.lder函數(shù)與可和函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分 43
3.1 Hλ空間中的映射性質(zhì) 44
3.2 Hλ0（ρ）空間中的映射性質(zhì) 47
3.3 Lp 空間中的映射性質(zhì) 55
3.4 Lp（ρ）空間中的映射性質(zhì) 58
4 第一章的參考文獻(xiàn)綜述及補(bǔ)充信息 68
4.1 歷史注記.68
4.2 其他結(jié)果概述 （與§§1—3相關(guān)） 71
第二章 實(shí)軸和半軸上的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 81
5 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的主要性質(zhì).81
5.1 定義和基本性質(zhì) 81
5.2 H.lder函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分 85
5.3 可和函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分 89
5.4 Marchaud分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 94
5.5 Hadamard有限部分積分 96
5.6 有限差分的性質(zhì)及α>1時(shí)的Marchaud分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).100
5.7 與分?jǐn)?shù)次冪的聯(lián)系 103
6 函數(shù)的Lp-函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分表示 104
6.1 Iα（Lp）空間 105
6.2 Lp-函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分的逆 106
6.3 Iα（Lp）空間的刻畫(huà) 108
6.4 函數(shù)可表示為分?jǐn)?shù)階積分的充分條件 111
6.5 Iα（Lp）-函數(shù)的連續(xù)積分模 116
7 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的積分變換 116
7.1 Fourier變換 117
7.2 Laplace變換 119
7.3 Mellin變換 121
8 廣義函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 123
8.1 基本思想 123
8.2 實(shí)軸R1的情形檢驗(yàn)函數(shù)Lizorkin空間 124
8.3 Schwartz方法 131
8.4 半軸的情形基于共軛算子的方法.132
8.5 McBride方法 134
8.6 區(qū)間的情形.135
9 第二章的參考文獻(xiàn)綜述及附加信息 136
9.1 歷史注記 136
9.2 其他結(jié)果概述（與§§5—8相關(guān)） 139
9.3 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的表格 150
第三章 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì) 154
10 帶權(quán)的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的復(fù)合運(yùn)算.154
10.1 兩個(gè)帶冪權(quán)的單邊積分復(fù)合運(yùn)算 155
10.2 雙邊帶冪權(quán)積分的復(fù)合運(yùn)算 166
10.3 多個(gè)帶冪權(quán)積分的復(fù)合運(yùn)算 168
10.4 帶指數(shù)權(quán)及冪指數(shù)權(quán)積分的復(fù)合運(yùn)算 172
11 分?jǐn)?shù)階積分與奇異算子的聯(lián)系 175
11.1 奇異算子S 176
11.2 全直線的情況 178
11.3 區(qū)間及半直線的情形 180
11.4 一些其他的復(fù)合關(guān)系 185
12 勢(shì)型分?jǐn)?shù)階積分 188
12.1 實(shí)軸的情形Riesz勢(shì)和Feller勢(shì) 188
12.2 Riesz勢(shì)在半軸上的截?cái)?192
12.3 半軸的情形.194
12.4 有限區(qū)間的情形.195
13 區(qū)間上可表示為分?jǐn)?shù)階積分的函數(shù) 196
13.1 區(qū)間上的Marchaud導(dǎo)數(shù) 196
13.2 Lp 中函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分的刻畫(huà) 200
13.3 分?jǐn)?shù)階積分的延拓、限制與 “縫合” 204
13.4 Holder函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分的刻畫(huà) 207
13.5 加權(quán)Holder空間的并集上的分?jǐn)?shù)階積分 214
13.6 具有特定連續(xù)模函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 216
14 實(shí)變函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分-微分的其他結(jié)果.221
14.1 Lipschitz空間*和* 221
14.2分?jǐn)?shù)階積分在*空間中的映射性質(zhì) 223
14.3 在整條直線上有定義且在每個(gè)有限區(qū)間內(nèi)屬于*的函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 226
14.4 絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 231
14.5 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的Riesz中值定理及不等式 234
14.6 分?jǐn)?shù)階積分與級(jí)數(shù)和積分的求和 238
15 廣義Leibniz法則 239
15.1 實(shí)軸上解析函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分-微分 239
15.2 廣義Leibniz法則 242
16 分?jǐn)?shù)階積分的漸近展開(kāi) 245
16.1 漸近展開(kāi)的定義與性質(zhì) 246
16.2 冪漸近展開(kāi)的情形 248
16.3 冪對(duì)數(shù)漸近展開(kāi)的情形 253
16.4 冪指數(shù)漸近展開(kāi)的情形 256
16.5 Abel方程的漸近解 257
17 第三章的參考文獻(xiàn)綜述及附加信息 259
17.1 歷史注記 259
17.2 其他結(jié)果概述（與§§10—16相關(guān)） 265
第四章 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的其他形式 282
18 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的直接修正與推廣 282
18.1 Erdelyi-Kober型算子 282
18.2 函數(shù)關(guān)于另一個(gè)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分 285
18.3 Hadamard分?jǐn)?shù)階積分-微分 288
18.4 Bessel分?jǐn)?shù)階積分-微分的一維修正和空間* 291
18.5 Chen分?jǐn)?shù)階積分 295
18.6 Dzherbashyan廣義分?jǐn)?shù)階積分 301
19 周期函數(shù)的Weyl分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 302
19.1 定義與Fourier級(jí)數(shù)的聯(lián)系.303
19.2 Weyl分?jǐn)?shù)階積分的基本性質(zhì) 307
19.3 周期函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分的其他形式 309
19.4 Weyl分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Marchaud分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一致性 310
19.5 周期函數(shù)關(guān)于Weyl分?jǐn)?shù)階積分的可表示性 312
19.6 Holder函數(shù)空間中的Weyl分?jǐn)?shù)階積分-微分 314
19.7 *空間中周期函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù).319
19.8 三角多項(xiàng)式的分?jǐn)?shù)階積分的 Bernstein 不等式 320
20 基于分?jǐn)?shù)階差分的分?jǐn)?shù)階積分-微分方法 （Grunwald-Letnikov方法） 322
20.1 分?jǐn)?shù)階差分及其性質(zhì) 323
20.2 Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)與Marchaud導(dǎo)數(shù)的一致性周期情形 327
20.3 Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)與Marchaud導(dǎo)數(shù)的一致性非周期情形 331
20.4 有限區(qū)間上的Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微分 334
21 帶冪對(duì)數(shù)核的算子 336
21.1 在*空間中的映射性質(zhì).337
21.2 在*空間中的映射性質(zhì) 343
21.3 在Lp空間中的映射性質(zhì) 347
21.4 在Lp（ρ）空間中的映射性質(zhì) 349
21.5 漸近展開(kāi) 355
22 復(fù)平面上的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 358
22.1 復(fù)平面上分?jǐn)?shù)階積分-微分的定義和主要性質(zhì) 359
22.2 解析函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分-微分 363
22.3 解析函數(shù)分?jǐn)?shù)階積分-微分的推廣 368
23 第四章的參考文獻(xiàn)綜述及附加信息 372
23.1 歷史注記 372
23.2 其他結(jié)果概述（與§§18—22 相關(guān)）.378
23.3 分?jǐn)?shù)階微積分會(huì)議上提出的一些問(wèn)題的回答 （紐黑文,1974） 400
第五章 多變量函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分-微分 402
24 分?jǐn)?shù)階偏及混合積分和導(dǎo)數(shù).402
24.1 多維Abel積分方程 403
24.2 分?jǐn)?shù)階偏及混合積分和導(dǎo)數(shù) 403
24.3 兩個(gè)變量的情形算子張量積 407
24.4 分?jǐn)?shù)階積分算子在*空間（具有混合范數(shù)）中的映射性質(zhì) 408
24.5 與奇異積分的聯(lián)系 410
24.6 Marchaud形式的分?jǐn)?shù)階偏和混合導(dǎo)數(shù) 411
24.7 *中函數(shù)的分?jǐn)?shù)階積分的刻畫(huà) 413
24.8 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的積分變換 415
24.9 關(guān)于分?jǐn)?shù)階積分-微分不變的Lizorkin函數(shù)空間 417
24.10 多變量周期函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分 418
24.11 Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微分 420
24.12 多勢(shì)型算子 421
25 Riesz分?jǐn)?shù)階積分-微分 424
25.1 預(yù)備知識(shí) 424
25.2 Riesz勢(shì)及其Fouirer變換不變Lizorkin空間 429
25.3 *空間和*空間中算子*的映射性質(zhì).433
25.4 Riesz微分（超奇異積分） 436
25.5 單邊Riesz勢(shì) 440
26 超奇異積分與 Riesz 勢(shì)空間 442
26.1 歸一化常數(shù)*作為參數(shù)α的函數(shù)的研究 442
26.2 非中心差分情形下的光滑函數(shù)超奇異積分的收斂性和有限差分階從 l到l>2[α/2]的減少 447
26.3 作為 Riesz 勢(shì)的逆的超奇異積分 449
26.4 具有齊次特征的超奇異積分 453
26.5 具有齊次特征的超奇異積分是與分布的卷積 459
26.6 偏導(dǎo)數(shù)微分算子的超奇異積分表示 461
26.7 Riesz勢(shì)空間*及其基于超奇異積分的刻畫(huà)空間* 465
27 Bessel 分?jǐn)?shù)階積分-微分 470
27.1 Bessel核及其性質(zhì) 470
27.2 與Poisson, Gauss-Weierstrass及元調(diào)和連續(xù)半群的聯(lián)系 472
27.3 Bessel 勢(shì)空間 475
27.4 *基于超奇異積分的實(shí)現(xiàn) 478
28 多維分?jǐn)?shù)階積分-微分的其他形式 483
28.1 具有Lorentz距離的Riesz勢(shì)（雙曲Riesz勢(shì)） 484
28.2 拋物勢(shì) 490
28.3 基于超奇異積分實(shí)現(xiàn)的分?jǐn)?shù)次冪算子*和* 493
28.4 分?jǐn)?shù)階混合積分和導(dǎo)數(shù)的金字塔類似形式 496
29 第五章的參考文獻(xiàn)綜述及附加信息 504
29.1 歷史注記 504
29.2 其他結(jié)果概述 （與§§24—28 相關(guān)） 510
第六章 應(yīng)用于帶冪和冪對(duì)數(shù)核的第一類積分方程 534
30 廣義 Abel 積分方程 535
30.1 控制奇異積分方程 535
30.2 全軸上的廣義Abel方程 538
30.3 區(qū)間上的廣義Abel方程 543
30.4 常系數(shù)的情形 548
31 帶冪核的第一類方程的Noether性質(zhì) 554
31.1 Noether算子的預(yù)備知識(shí) 554
31.2 在實(shí)軸上的方程 557
31.3 有限區(qū)間上的方程 568
31.4 關(guān)于解的穩(wěn)定性 577
32 帶冪對(duì)數(shù)核的方程 579
32.1 特殊Volterra函數(shù)及其性質(zhì) 579
32.2 帶非負(fù)整數(shù)次對(duì)數(shù)冪的方程的解 582
32.3 帶實(shí)數(shù)次對(duì)數(shù)冪的方程的解 585
33 帶冪對(duì)數(shù)核的第一類方程的Noether性質(zhì) 589
33.1 算子*值域的嵌入定理 589
33.2 具有冪對(duì)數(shù)核的算子與奇異算子之間的聯(lián)系 591
33.3 方程（33.1）的Noether性質(zhì) 596
34 第六章的參考文獻(xiàn)綜述及附加信息 599
34.1 歷史注記 599
34.2 其他結(jié)果概述 （與§§30—33 相關(guān)） 602
第七章 帶特殊函數(shù)核的第一類積分方程 611
35 帶Gauss和Legendre函數(shù)的齊次核方程 611
35.1 帶Gauss 函數(shù)的方程 612
35.2 帶Legendre函數(shù)的方程 614
36 視作積分變換的分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù) 618
36.1 G變換的定義空間*和*及其特征 619
36.2 G變換的存在性、映射性質(zhì)及表示 623
36.3 G變換的分解 626
36.4 G變換的逆 629
36.5 分?jǐn)?shù)階積分在*和* 空間中的映射性質(zhì)、分解及逆運(yùn)算 632
36.6 因子分解的其他例子 634
36.7 作用在分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)上的G變換的映射性質(zhì) 637
36.8 分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的指標(biāo)律 638
37 帶非齊次核的方程 641
37.1 帶差分核的方程.641
37.2 Hankel及Erdelyi-Kober變換對(duì)應(yīng)的廣義算子 647
37.3 核中帶Bessel函數(shù)的非卷積算子 650
37.4 復(fù)合型方程 653
37.5 W變換及其逆變換 659
37.6 分?jǐn)?shù)階積分在逆W變換中的應(yīng)用 663
38 分?jǐn)?shù)階微積分在對(duì)偶積分方程研究中的應(yīng)用 666
38.1 對(duì)偶方程 667
38.2 三重方程 671
39 第七章的參考文獻(xiàn)綜述及附加信息 675
39.1 歷史注記 675
39.2 其他結(jié)果概述（與§§35—38 相關(guān)） 679
第八章 在微分方程中的應(yīng)用 701
40 二階偏微分方程解析解的積分表示及其在邊值問(wèn)題中的應(yīng)用 701
40.1 預(yù)備知識(shí) 701
40.2 廣義Helmholtz雙軸對(duì)稱方程解的表示.704
40.3 廣義Helmholtz雙軸對(duì)稱方程的邊值問(wèn)題 712
41 Euler-Poisson-Darboux方程.715
41.1 Euler-Poisson-Darboux方程解的表示 715
41.2 Cauchy問(wèn)題的經(jīng)典解和廣義解.720
41.3 多維半空間中的半齊次Cauchy問(wèn)題 724
41.4 半平面上加權(quán) Dirichlet和Neumann問(wèn)題 727
42 分?jǐn)?shù)階常微分方程 729
42.1 一般形式的分?jǐn)?shù)階微分方程及微分方程組的Cauchy型問(wèn)題 730
42.2 分?jǐn)?shù)階線性微分方程的Cauchy型問(wèn)題 736
42.3 分?jǐn)?shù)階線性微分方程的Dirichlet型問(wèn)題 740
42.4 廣義函數(shù)空間中分?jǐn)?shù)階常系數(shù)線性微分方程的解 743
42.5 分?jǐn)?shù)階微分在整數(shù)階微分方程中的應(yīng)用 746
43 第八章的參考文獻(xiàn)綜述及附加信息 751
43.1 歷史注記 751
43.2 其他結(jié)果概述（與§§40—42相關(guān)） 754
參考文獻(xiàn) 770
作者索引 868
條目索引 882
符號(hào)索引 889
附錄 分?jǐn)?shù)階微積分概述及其在Wolfram Mathematica中的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 893
內(nèi)容簡(jiǎn)介 893
1 歷史、現(xiàn)狀和應(yīng)用 894
1.1 背景和概念 894
1.2 分?jǐn)?shù)階微積分的經(jīng)典方法 897
1.3 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣 907
1.4 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的應(yīng)用 912
2 Wolfram語(yǔ)言中的分?jǐn)?shù)階微分 916
2.1 Wolfram語(yǔ)言中 Riemann-Liouville-Hadamard積分-微分的定義 916
2.2 通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)計(jì)算分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分 921
2.3 Meijer G函數(shù)和分?jǐn)?shù)階微積分 929
2.4 支持微分常數(shù)、分?jǐn)?shù)階微分的通用公式 947
2.5 總結(jié) 950
參考文獻(xiàn) 951