目錄
前言
連續(xù)思想篇（一）——一元函數(shù)微積分學(xué)
第1章 初等函數(shù)3
1.1 函數(shù)的概念和性質(zhì)3
1.1.1 問題的提出3
1.1.2 實數(shù)集3
1.1.3 函數(shù)的概念4
1.1.4 函數(shù)的性質(zhì)7
1.2 初等函數(shù)8
1.2.1 基本初等函數(shù)8
1.2.2 復(fù)合函數(shù)10
1.2.3 初等函數(shù)的定義10
1.3 建立函數(shù)關(guān)系——數(shù)學(xué)模型10
數(shù)學(xué)重要歷史人物——笛卡兒13
習(xí)題1 14
第2章 極限與連續(xù)17
2.1 極限的概念與無窮小量17
2.1.1 數(shù)列的極限17
2.1.2 函數(shù)的極限18
2.1.3 極限的性質(zhì)20
2.1.4 無窮大與無窮小20
2.2 極限的運算21
2.2.1 極限的運算法則21
2.2.2 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則22
2.2.3 夾逼準(zhǔn)則23
2.2.4 重要極限23
2.2.5 無窮小的比較24
2.3 函數(shù)的連續(xù)性26
2.3.1 函數(shù)的連續(xù)性26
2.3.2 函數(shù)的間斷點27
2.3.3 初等函數(shù)的連續(xù)性27
2.3.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)28
數(shù)學(xué)重要歷史人物——柯西30
習(xí)題2 32
第3章 變化率與導(dǎo)數(shù)35
3.1 導(dǎo)數(shù)的概念35
3.1.1 實際問題35
3.1.2 導(dǎo)數(shù)36
3.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義38
3.1.4 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系39
3.2 導(dǎo)數(shù)的計算39
3.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則40
3.2.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則40
3.2.3 基本導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則41
3.2.4 高階導(dǎo)數(shù)42
3.3 微分中值定理44
3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用47
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性47
3.4.2 函數(shù)的極值48
3.5 函數(shù)變化率的數(shù)學(xué)模型49
3.6 洛必達(dá)法則52
3.7 微分與近似計算54
3.7.1 微分的定義54
3.7.2 基本微分公式與微分運算法則56
3.7.3 微分在近似計算中的應(yīng)用57
數(shù)學(xué)重要歷史人物——費馬58
習(xí)題3 60
第4章 積分63
4.1 不定積分63
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念63
4.1.2 基本積分表64
4.1.3 不定積分的性質(zhì)65
4.2 不定積分計算66
4.2.1 換元積分法66
4.2.2 分部積分法68
4.3 定積分的引出及概念69
4.3.1 引例69
4.3.2 定積分的定義70
4.3.3 定積分的幾何意義71
4.3.4 定積分的性質(zhì)72
4.4 定積分計算72
4.4.1 積分上限函數(shù)72
4.4.2 微積分基本公式74
4.4.3 定積分的換元積分法75
4.4.4 定積分的分部積分法76
4.5 定積分應(yīng)用77
4.5.1 微元法77
4.5.2 平面圖形的面積77
4.5.3 體積79
4.5.4 投資回收期的計算80
數(shù)學(xué)重要歷史人物——萊布尼茨81
習(xí)題4 83
離散思想篇
第5章 線性代數(shù)初步91
5.1 線性方程組與矩陣91
5.2 消元法與矩陣初等變換93
5.3 行列式的概念與計算96
5.3.1 二、三階行列式96
5.3.2 一般階行列式的定義98
5.3.3 行列式的性質(zhì)100
5.3.4 行列式的計算105
5.3.5 克拉默法則107
5.4 線性代數(shù)模型108
5.4.1 食譜營養(yǎng)模型108
5.4.2 差分方程109
數(shù)學(xué)重要歷史人物——高斯111
習(xí)題5 113
第6章 矩陣與線性方程組116
6.1 矩陣的基本運算116
6.1.1 矩陣加法與數(shù)量乘法116
6.1.2 矩陣乘法117
6.1.3 矩陣的轉(zhuǎn)置119
6.2 矩陣的逆120
6.2.1 矩陣逆的概念120
6.2.2 由伴隨矩陣求矩陣的逆121
6.2.3 由初等矩陣求矩陣的逆121
6.3 矩陣的秩123
6.3.1 行階梯形矩陣123
6.3.2 矩陣的秩的定義128
6.4 n維向量及其線性相關(guān)性128
6.4.1 n維向量及其線性運算128
6.4.2 向量組線性相關(guān)性129
6.5 向量組的秩及最大線性無關(guān)組132
6.5.1 向量組的等價132
6.5.2 向量組的秩133
6.5.3 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系134
6.6 線性方程組的解135
6.6.1 解線性方程組135
6.6.2 存在與唯一性問題137
6.6.3 齊次線性方程組138
6.6.4 非齊次線性方程組142
6.7 應(yīng)用舉例144
6.7.1 列昂季耶夫投入產(chǎn)出模型144
6.7.2 交通流量問題146
數(shù)學(xué)重要歷史人物——伯努利148
習(xí)題6 149
第7章 矩陣的特征值與特征向量153
7.1 向量的內(nèi)積與正交向量組153
7.1.1 向量的內(nèi)積153
7.1.2 正交向量組與施密特正交化方法155
7.1.3 正交矩陣156
7.2 矩陣的特征值與特征向量157
7.2.1 特征值與特征向量的概念和求法157
7.2.2 特征值和特征向量的性質(zhì)158
7.3 相似矩陣與方陣的對角化159
7.3.1 相似矩陣及其性質(zhì)159
7.3.2 矩陣與對角矩陣相似的條件160
7.4 實對稱矩陣的對角化161
7.4.1 實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)161
7.4.2 實對稱矩陣的對角化162
7.5 特征值與特征向量的應(yīng)用163
數(shù)學(xué)重要歷史人物——埃爾米特165
習(xí)題7 166
第8章 二次型169
8.1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形169
8.1.1 二次型及其矩陣表示169
8.1.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形171
8.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形171
8.2.1 正交變換法172
8.2.2 配方法173
8.3 正定二次型176
8.4 正交變換化標(biāo)準(zhǔn)型的幾何應(yīng)用178
數(shù)學(xué)重要歷史人物——阿基米德182
習(xí)題8 184
參考文獻(xiàn)186
附錄積分表187
習(xí)題答案191