本書是國家工科數(shù)學(xué)教學(xué)基地之一的哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系根據(jù)教育部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)最新修訂的《工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求（修訂稿）》的精神和原則，結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐和研究而編寫的系列教材之一。全書共8章，包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、保形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換等內(nèi)容。每章后進(jìn)行了簡(jiǎn)明的總結(jié)，便于學(xué)生深入掌握該章知識(shí)，并且精心設(shè)計(jì)了相應(yīng)梯度的、適量的習(xí)題，在書后附有參考答案。書末附有傅氏變換和拉氏變換簡(jiǎn)表，便于讀者查閱使用。書中標(biāo)有*號(hào)部分供讀者選學(xué)使用。
本書可作為高等工科院校各專業(yè)本科生的復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教材，也可供有關(guān)工程技術(shù)人員參考。
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包革軍、邢宇明、蓋云英編著的《復(fù)變函數(shù)與積分變換(第3版普通高等教育十二五規(guī)劃教材)》對(duì)基本概念的引入盡可能聯(lián)系實(shí)際，突出其物理意義；基本理論的推導(dǎo)深入淺出，循序漸進(jìn)，適合工科專業(yè)的特點(diǎn)；基本方法的闡述富于啟發(fā)性，使學(xué)生能舉一反三、融會(huì)貫通，以期達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的目的。
哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系、包革軍、邢宇明、蓋云英
目錄
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1
1.1 復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何表示 1
1.1.1 復(fù)數(shù)概念及四則運(yùn)算 1
1.1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示 3
1.1.3 共輒復(fù)數(shù) 6
1.1.4 乘除、乘方與開方 8
1.1.5 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 13
1.2 復(fù)平面上的點(diǎn)集 14
1.2.1 基本概念 14
1.2.2 區(qū)域和曲線 14
1.3 復(fù)變函數(shù) 17
1.3.1 定義與幾何意義 17
1.3.2 極限與連續(xù)性 20
第1章小結(jié) 23
習(xí)題1 25
第2章 解析函數(shù) 28
2.1 解析函數(shù)的概念 28
2.1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 28
2.1.2 復(fù)變函數(shù)解析的概念 31
2.2 畫數(shù)解析的充要條件 32
2.3 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù) 36
2.4 初等函數(shù) 43
2.4.1 指數(shù)函數(shù) 43
2.4.2 三角函數(shù)與雙曲函數(shù) 46
2.4.3 對(duì)數(shù)函數(shù) 49
2.4.4 事函數(shù) 51
2.4.5 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù) 53
2.5 解析函數(shù)的物理意義 54
2.5.1 用復(fù)變函數(shù)刻畫平面向量場(chǎng) 54
2.5.2 平面流速場(chǎng)的復(fù)勢(shì) 55
2.5.3 靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì) 57
2.5.4 平面穩(wěn)定溫度場(chǎng) 59
第2章小結(jié) 60
習(xí)題2 64
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分 67
3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念 67
3.1.1 積分的定義 67
3.1.2 積分的性質(zhì) 68
3.1.3 積分的存在條件與計(jì)算 69
3.2 柯西積分定理 73
3.2.1 柯西積分定理 73
3.2.2 不定積分 74
3.2.3 復(fù)合閉路定理 77
3.3 柯西積分公式 79
3.3.1 柯西積分公式 79
3.3.2 高階導(dǎo)數(shù)公式 84
3.3.3 幾個(gè)重要的推論 87
第3章小結(jié) 90
習(xí)題3 93
第4章 級(jí)數(shù) 96
4.1 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 96
4.1.1 復(fù)數(shù)序列 96
4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 97
4.1.3 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 101
4.2 幕級(jí)數(shù) 105
4.2.1 事級(jí)數(shù)的概念 105
4.2.2 事級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑 106
4.2.3 事級(jí)數(shù)的性質(zhì) 110
4.2.4 事級(jí)數(shù)的運(yùn)算 112
4.3 泰勒級(jí)數(shù) 116
4.3.1 泰勒（Taylor）展開定理 116
4.3.2 幾個(gè)初等函數(shù)的事級(jí)數(shù)展開式 118
4.4 洛朗級(jí)數(shù) 122
4.4.1 格朗級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì) 123
4.4.2 洛朗展開定理 124
4.4.3 求解析函數(shù)的洛朗展開式的一些方法 127
第4章小結(jié) 130
習(xí)題4 134
第5章 留數(shù) 136
5.1 孤立奇點(diǎn) 136
5.1.1 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及分類 136
5.1.2 解析函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)的性質(zhì) 138
5.1.3 解析函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 140
5.1.4 解析函數(shù)在無窮孤立奇點(diǎn)的性質(zhì) 142
5.2 留數(shù) 144
5.2.1 留數(shù)的定義及其計(jì)算規(guī)則 144
5.2.2 留數(shù)的基本定理148
5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 153
5.3.1 形如積分153
5.3.2 形如dx的積分155
5.3.3 形如積分 157
5.4 輻角原理與儒歇定理 162
5.4.1 對(duì)數(shù)留數(shù) 162
5.4.2 輻角原理 165
5.4.3 儒歇定理 166
第5章小結(jié) 169
習(xí)題5 173
第6章 保形映射 176
6.1 保形映射的概念 176
6.2 分式線性映射 179
6.3 分式線性映射的性質(zhì) 185
6.4 兩個(gè)重要的分式線性映射 190
6.4.1 將上半平面Imz＞0 映射成單位圓盤W＜1 的分式結(jié)性映射 190
6.4.2 將單位圓盤Izl＜1 映射為單位圓盤W1＜1 的分式線性映射 192
6.5 幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射 194
6.5.1 冪函數(shù) 194
6.5.2 指數(shù)函數(shù) 199
6.5.3 儒可夫斯基函數(shù) 202
第6章小結(jié) 205
習(xí)題6 207
第7章 傅里葉變換 210
7.1 傅里葉積分與傅里葉積分定理 211
7.2 傅里葉變換與傅里葉逆變換 217
7.3 單位脈沖函數(shù)222
7.3.1 單位脈沖函數(shù)的概念 222
7.3.2 函數(shù)的性質(zhì) 226
7.4 廣義傅里葉變換 229
7.5 傅里葉變換的性質(zhì) 232
7.6 卷積 241
7.6.1 卷積的概念 241
7.6.2 卷積的性質(zhì) 245
7.6.3 卷積在傅氏變換中的應(yīng)用 249
7.7 相關(guān)函數(shù) 251
7.7.1 互相關(guān)函數(shù) 251
7.7.2 自相關(guān)函數(shù) 255
7.8 傅里葉變換的應(yīng)用 258
7.8.1 非周期函數(shù)的頻譜 258
7.8.2 傅氏變換在求解方程中的應(yīng)用舉例 261
7.9 多維傅里葉變換 262
7.9.1 多錐傅氏變換的概念 263
7.9.2 多錐傅氏變換的性質(zhì) 265
第7章小結(jié) 267
習(xí)題7 271
第8章 拉普拉斯變換 275
8.1 拉普拉斯變換的概念 275
8.1.1 拉氏變換的定義 275
8.1.2 拉氏變換的存在定理 277
8.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)(一) 285
8.3 拉普拉斯變換的性質(zhì)(二) 294
8.3.1 初值和終值定理 294
8.3.2 卷積定理 297
8.4 拉普拉斯逆變換 301
8.5 拉普拉斯變換在解方程中的應(yīng)用 307
第8章小結(jié) 312
習(xí)題8 315
參考文獻(xiàn) 319
習(xí)題答案 320
附錄 332
附錄I 傅氏變換簡(jiǎn)表 332
附錄II 拉氏變換簡(jiǎn)表 338
第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
在本章里，我們先介紹復(fù)數(shù)系統(tǒng)的代數(shù)和幾何結(jié)構(gòu)，然后引進(jìn)復(fù)變量的函
數(shù)――復(fù)變函數(shù)，進(jìn)而介紹它的極限和連續(xù)性.
1.1 復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何表示
1.1.1 復(fù)數(shù)概念及四則運(yùn)算
為了便于以后討論，在這里回顧有關(guān)復(fù)數(shù)的基本定義及結(jié)論.
設(shè)x； y 為兩實(shí)數(shù)，稱形如
z = x+iy（或x+yi）
的數(shù)為復(fù)數(shù)，這里i 為虛單位，具有性質(zhì)i2 = ?1.x 及y 分別稱為z 的實(shí)部與虛部，
常記作
x = Rez； y = Imz
虛部為零的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，簡(jiǎn)記為x+i0 = x.因此，全體實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的一部分.
特別記0+i0 = 0，即當(dāng)且僅當(dāng)z 的實(shí)部和虛部同時(shí)為零時(shí)復(fù)數(shù)z 為零.實(shí)部為零
且虛部不為零的復(fù)數(shù)稱為純虛數(shù).如果兩復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，則稱兩復(fù)數(shù)
相等.
設(shè)
z1 = x1+iy1； z2 = x2+iy2
定義兩復(fù)數(shù)z1； z2 的四則運(yùn)算法則是
z1+z2 =（x1+iy1）+（x2+iy2） =（x1+x2）+i（y1+y2）（1∶1∶1）
z1 ? z2 =（x1+iy1） ?（x2+iy2） =（x1 ? x2）+i（y1 ? y2）（1∶1∶2）
z1 ￠ z2 =（x1+iy1）（x2+iy2） =（x1x2 ? y1y2）+i（x1y2+y1x2）（1∶1∶3）
如果z2 6= 0，則
z1
z2
= x1+iy1
x2+iy2
=
（x1+iy1）（x2 ? iy2）
（x2+iy2）（x2 ? iy2）
= x1x2+y1y2
x2
2+y2
2
+ ix2y1 ? x1y2
x2
2+y2
2
（1.1.4）
從式（1.1.1）? 式（1.1.4） 即知復(fù)數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的仍舊是復(fù)數(shù).又從式
（1.1.1） 和式（1.1.2） 以及實(shí)部與虛部的定義得出
Re（z1 § z2） = Rez1 § Rez2
Im（z1 § z2） = Imz1 § Imz2（1∶1∶5）
例1.1.1 化簡(jiǎn)i3；
i
1 ? i
+
1 ? i
i ∶
解i3 = i2 ￠ i = ?1 ￠ i = ? i
i
1 ? i
+
1 ? i
i
=
i2+（1 ? i）2
（1 ? i）i
= ?1 ? 2i
1+i
=
（?1 ? 2i）（1 ? i）
2
= ?
3
2 ?
1
2
i
例1.1.2 計(jì)算
（1）
2+3i
2 ? 3i
，（2）
2i
p3 ? i ?
3
p3i ? 1
.
解（1）
2+3i
2 ? 3i
=
（2+3i）2
（2 ? 3i）（2+3i）
=
4+12i ? 9
4+9
= ?
5
13
+
12
13
i
（2）
2i
p3 ? i ?
3
p3i ? 1
=
2i
p3 ? i ?
3
i（p3+i）
=
2i
p3 ? i
+
3i
p3+i
=
1
4
+
5p3
4
i
例1.1.3 已知x+yi =（2x ? 1）+y2i，求z = x+iy.
解比較等式兩端的實(shí)部與虛部，得
x = 2x ? 1； x = 1
y = y2； y = 0 或y = 1
由此解得
z = 1 或z = 1+i
1.1.2 復(fù)數(shù)的幾何表示
任意給定一個(gè)復(fù)數(shù)z = x+iy，都與一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x； y） 相對(duì)應(yīng).而任意一對(duì)
有序?qū)崝?shù)（x； y） 都與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P（x； y） 對(duì)應(yīng)，這樣能夠建立平面上的
全部點(diǎn)與全體復(fù)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，于是可用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)
（圖1.1.1）.
表示復(fù)數(shù)z 的直角坐標(biāo)平面稱為復(fù)平面或z{平面，復(fù)平面也常用C 來表示.
因復(fù)平面上的x 軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)，y 軸上非零的點(diǎn)對(duì)應(yīng)純虛數(shù)，故稱x 軸為實(shí)軸，
y 軸為虛軸.由于全體復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)的全體是一一對(duì)應(yīng)的，以后把“點(diǎn)z”和
“復(fù)數(shù)z”作為同義詞而不加區(qū)別.
在復(fù)平面上，如圖1.1.1 所示，從原點(diǎn)O
到點(diǎn)P（x； y） 作向量?O?!P .我們看到復(fù)平面
上由原點(diǎn)出發(fā)的向量的全體與復(fù)數(shù)的全體C
之間也構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù)0 對(duì)應(yīng)著零
向量），因此也可以用向量?O?!P 來表示復(fù)數(shù)
z = x+iy∶
在物理學(xué)中，力、速度、加速度等都可用
向量表示，說明復(fù)數(shù)可以用來表示實(shí)有的物
理量.
圖1.1.1
向量?O?!P 的長(zhǎng)度r 稱為復(fù)數(shù)z 的�；蚪^對(duì)值，記作jzj，即jzj = r.實(shí)軸正向轉(zhuǎn)
到與向量?O?!P 方向一致時(shí)，所成的角度μ 稱為復(fù)數(shù)的輻角，記作Argz，即Argz = μ.
復(fù)數(shù)0 的模為零，即j0j = 0，其輻角是不確定的.任何不為零的復(fù)數(shù)z 的輻角
Argz 均有無窮多個(gè)值，彼此之間相差2 的整數(shù)倍.通常把滿足? < μ0 6 的輻
角值μ0 稱為Argz 的主值，記作arg z，于是
Argz = arg z+2k； k = 0；§1；§2； …
并且可以用復(fù)數(shù)z 的實(shí)部與虛部來表示輻角主值arg z：
arg z =
8>
>><>>>∶
arctan y
x
； x > 0
arctan y
x
+ ； x < 0； y > 0
arctan y
x ? ； x < 0； y < 0
由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系（圖1.1.1），我們立即得到不為零的復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛
部與該復(fù)數(shù)的模、輻角之間的關(guān)系
8<∶
r = jzj = px2+y2
tan μ = tan（Argz） = y
x
（1.1.6）
以及
（ x = r cos μ
y = r sin μ
（1.1.7）
于是復(fù)數(shù)z 又可表示為
z = x+iy = r（cos μ+i sin μ）（1.1.8）
式（1.1.8） 通常稱為復(fù)數(shù)z 的三角表示式.如果再利用歐拉（Euler） 公式
eiμ = cos μ+i sin μ
又可以得到
z = reiμ（1.1.9）
這種形式稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式.
在1.1.1 節(jié)中已經(jīng)指出：兩復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別相等，則稱兩復(fù)數(shù)相等.于
是從式（1.1.6） 與式（1.1.7） 即知兩復(fù)數(shù)相等，其模必定相等，其輻角可以差2 的整
數(shù)倍（輻角如果都取主值，則應(yīng)相等）.反之，如果復(fù)數(shù)的模及輻角分別相等，則從式
（1.1.8） 即知這兩個(gè)復(fù)數(shù)必然相等.
因復(fù)數(shù)可用向量表示，故復(fù)數(shù)是既有大小、又有方向的量，所以兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果
不都是實(shí)數(shù)，就無法比較大小.但是，兩個(gè)復(fù)數(shù)的模都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小.
從圖1.1.1 可以看出
?r 6 x； y 6 r
即
?jzj 6 Rez； Imz 6 jzj（1.1.10）
例1.1.4 求下列各復(fù)數(shù)的模及輻角.
（1）?2，（2）?i，（3）1+i.
解由z 平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，可以看出
（1）j ? 2j = 2，arg（?2） = ，Arg（?2） = +2k，k = 0；§1；§2； …
（2）j ? ij = 1，arg（?i） = ?
2
，Arg（?i） = ?
2
+ 2k，k = 0；§1；§2； …
（3）j1+ij = p12+12 = p2，arg（1+i） =
4
，Arg（1+i） =
4
+ 2k，k =
0；§1；§2； …
例1.1.5 將復(fù)數(shù)z = ?1 ? p3i 分別化為三角表示式和指數(shù)表示式.
解因?yàn)閤 = ?1； y = ?p3，所以
r = q（?1）2+（?
p3）2 = 2
又z 在第三象限內(nèi)，于是
arg z = arctan ?p3
?1 ? = ?
2
3
所以
z = 2 ?cosμ?
2
3 ?+ i sinμ?
2
3 ??
由正、余弦函數(shù)的周期性，也可表為
圖1.1.2
z = 2 ?cosμ?
2
3
+ 2k?+ i sinμ?
2
3
+ 2k??
相應(yīng)的指數(shù)表示式為
z = 2e（?2
3 +2k）i； k = 0；§1；§2； …
以?O?!z1 和?O?!z2 為兩鄰邊作一平行四邊形Oz1zz2，通過圖1.1.2 可以說明，復(fù)數(shù)的
加法、減法法則與向量的加法、減法法則一致.通過兩向量的和與差的幾何作圖法，
在復(fù)平面中可以求出相應(yīng)兩復(fù)數(shù)的和z1+z2 與差z1 ? z2 的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
圖1.1.3
在圖1.1.3 中，以向量?O?!z1 和
?O?!z2 為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)
角線向量?O!z 及?z?2!z1 就分別對(duì)應(yīng)于
復(fù)數(shù)z1+z2 及z1 ? z2.由于?! Oz 的
起點(diǎn)為原點(diǎn)O，因而終點(diǎn)z 所對(duì)應(yīng)的
復(fù)數(shù)就是z1+z2； 而向量?z?2!z1 的起
點(diǎn)不是原點(diǎn)，經(jīng)平移得起點(diǎn)為原點(diǎn)O
的向量?! OS，則終點(diǎn)S 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)
就是z1?z2.從圖1.1.3 還可以看到，
jz1 ? z2j 表示復(fù)平面上兩點(diǎn)z1 與z2
之間的距離.事實(shí)上，有
jz1 ? z2j = j（x1 ? x2）+i（y1 ? y2）j = p（x1 ? x2）2+（y1 ? y2）2
這正是平面上兩點(diǎn)距離的表達(dá)式.
1.1.3 共軛復(fù)數(shù)
實(shí)部相等、虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).如果其中一個(gè)復(fù)數(shù)記作
z，則其共軛復(fù)數(shù)記作1z.于是
x ? iy = x+iy
由定義，顯然z = z.特別地，實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是該實(shí)數(shù)本身； 反之，如果復(fù)數(shù)z
與它的共軛復(fù)數(shù)1z 相等，則這個(gè)復(fù)數(shù)便是一個(gè)實(shí)數(shù).
由定義不難驗(yàn)證，兩復(fù)數(shù)的和、差、積、商的共軛復(fù)數(shù)，分別等于這兩復(fù)數(shù)的共
軛復(fù)數(shù)的和、差、積、商，即
z1 § z2 = z1 § z2（1.1.11）
z1 ￠ z2 = z1 ￠ z2（1.1.12）
μz1
z2?= z1
z2
（z2 6= 0）（1.1.13）
我們還可以用共軛復(fù)數(shù)來表示復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部以及模.例如
2Rez = z+z
2iImz = z ? z
zz = x2+y2 = jzj2
jzj = jzj
利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，我們能夠比較容易地證明兩個(gè)重要的不等式
jz1+z2j 6 jz1j+jz2j（1.1.14）
jz1 ? z2j > jjz1j ? jz2jj（1.1.15）
事實(shí)上，從共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，我們有
jz1+z2j2 =（z1+z2）（z1+z2） = z1z1+z2z1+z1z2+z2z2
= jz1j2+z1z2+z1z2+jz2j2 = jz1j2+2Re（z1z2）+jz2j2
6 jz1j2+2jz1jjz2j+jz2j2 =（jz1j+jz2j）2
由此可得不等式（1.1.14）.如將上式中z2 換成?z2，則有
jz1 ? z2j2 = jz1j2 ? 2Re（z1z2）+jz2j2
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