第一章線性方程組的解法
習題1.1
1. (1) (1,.2, 3).; (2) (2, .1, 1, .3).; (3) (.8, 3, 6, 0).; (4) (.2, 1, 3, .1).,提示：第(4)小題的第一步：把第二行的(.1)倍加到第一行上,使得矩陣的左上角元素為1.
2.(1)給A1,A2,A3分別投資65 , 35 ,7.5千元.
(2)相應的線性方程組的解是(.5,10,5),單位為千元,這不是可行解.因此投給A3的錢不能等于投給A1與A2的錢的和.
習題1.2
1. (1) 無解; (2) 有無窮多個解, 一般解是
其中x3是自由未知量;
(3) 有無窮多個解, 一般解是
..
..
. ...
11 23
x1 = . 7 x3 +7 , 51
x2 ,
= .7 x3 . 7
x1 = x3 . x4 . 3, x2 = x3 + x4 . 4,
其中x3,x4是自由未知量.
2. 原線性方程組有解當且僅當a = .1, 此時它的一般解是
...
..
18 1
x1 = . 7 x3 +7 , 12
x2 = .7 x3 +7 ,
其中x3是自由未知量.
3. 原線性方程組有解當且僅當a = . 2,此時方程組有唯一解.(詳細參考文獻[1]的第19頁例2.).3
4. 原線性方程組有解當且僅當c =0 且d = 2, 此時它的一般解是
.. .
x1=x3+x4+5x5. 2, x2 = .2x3. 2x4. 6x5+3,
其中x3,x4,x5是自由未知量.
5.(1)l1,l2,l3有唯一的公共點P.1 , 1
.2 2
(2)令l4:4x. 4y = .3,則l1,l2,l4沒有公共點.(詳見參考文獻[1]的第19～20頁例3.)
6.不存在二次函數(shù),其圖像經(jīng)過點P、Q、M、N.

7. (1) 有非零解. 它的一般解是


..
. .
.
x1 = .3x4,x2=x4,x3=2x4,
其中x4是自由未知量.(詳見參考文獻[1]的第21～22頁例5.)
(2)方程個數(shù)3小于未知量數(shù)目4,因此齊次線性方程組有非零解.它的一般解是
..
..
.
55
x1=x4,
41
10
x2=x4,
41 33
x3x4,
= .41
其中x4是自由未知量.
8.總利潤的最大值為1.35萬元,最小值為1.25萬元.投給A1,A2,A3的錢分別為0,5,5(萬元)時,總利潤達到最大值1.35萬元.(詳見參考文獻[1]的第20～21頁例4.)
習題1.3
1. 類似于本節(jié)例1 的證法.

2. 類似于例1 的證法.


補充題一
naisaja1a2an
j=1
1 11 11. xi
bi
=
ai . bj
i=1,2,,n,其中s=1+
···
.
(詳見參考文
+++
,
···
獻[1]的第25～26頁的補充題一的第1題.)
2.
n
..
.. ....
1 2
i =1, 2, ,n . 1;···. bi+bi+1bjxi = ,
n(n+1)
n
j=1
..
..
2
n(n+1)
nj=1
bj
..
+ b1
..
.xn =
1
n
. bn
(詳見參考文獻[1]的第26～27頁的第2題.)
3. 一般解是：
.x1 + n,.
= .xn+2.···. x2n x2=xn+2. 1,
x3=xn+3. 1,
.
.
············
xn.1 = x2n.1 . 1, xn=x2n. 1 . xn+1=.xn+2.···. x2n+n+1,
其中xn+2,xn+3,,x2n是自由未知量.(詳見參考文獻[1]的第27頁的第3題.)
···

第二章行列式
習題2.1
1.(1)6,偶排列;(2)11,奇排列;(3)15,奇排列;(4)15,奇排列;(5)18,偶排列;(6)36,偶排列.
2.τ(n(n. 1) 321)= 1 n(n. 1).當n=4k或4k+1時,n(n. 1)321是偶排列,當···2 ···
n=4k+2或4k+3時,是奇排列.(詳見參考文獻[1]的第32頁例2.)1
3.(1)
(n . 1)(n . 2); (2) n . 1.

4. . 12 nk(n . . 1) . 1 r.(詳見參考文獻[1]第32頁例3.)

5. . ai . 2 k(k+1).(詳見參考文獻[1]第32頁例4.)


2
i=1
6. (1) 11; (2) 0; (3) 0; (4) λ2 + a2; (5) λ2 + 4.
習題2.2
1. (1)(.1)n.1a1a2an.1an;(2)(.1) 12 (n.1)(n.2)a1a2an.1an.
······
2.0.(詳見參考文獻[1]的第37頁的例3.)
3. x 的4 次多項式. x4 項的系數(shù)為7,x3 項的系數(shù)為.5.(詳見參考文獻[1]的第37～38頁例4.)

4.詳見參考文獻[1]的第38頁的例5.

5. 提示：在|A| 的表達式中,每一項或者等于1,或者等于.1.設有k項等于1,則有(n!. k) 項等于.1.


習題2.3
1. (1) .500.(詳見參考文獻[1]的第44～45頁例1)(2)160.
. n.
2. (.1)n.1bn.1 . ai . b.i=1

3.(1)利用性質(zhì)3.(2)利用性質(zhì)3.


4. (1) a1 . a2b2. a3b3.···. anbn.(提示：把第2列的(.b2)倍加到第1列上,··· ,把第n列的(.bn)倍加到第1列上.)
(2)當n.3時,行列式的值為0;當n=2時,行列式的值為(a1. a2)(b2. b1);當n=1時為a1+b1.
習題2.4
1. (1) 100; (2) 726.

2. (1)(λ . 1)(λ . 3)2; (2) (λ + 2)2(λ . 2)2 .

3.Dn=n+1.(詳見參考文獻[1]第56頁的例5.)

4. Dn = an+1. bn+1.(詳見參考文獻[1]第56頁例6.)


a . b
5.Dn=(n+1)an .(詳見參考文獻[9]第435～436頁第4題的解答.)

6. (.1)n.1 21(n+1)nn.1 .(詳見參考文獻[1]的第57～58頁例7.)

7. (.1) 12n(n.1) 21(n+1)nn.1 .(提示：把第n. 1行的(.1)倍加到第n行上,把第n. 2


行的(.1) 倍加到第n . 1行上,依次類推,把第1行的(.1)倍加到第2行上;然后把第2,3,,n列都加到第1列上.)
···
8. .2(n . 2)!.(提示：把第1行的(.1)倍分別加到2,3,,n行上,然后按第2列
···
展開.)y(x. z)n . z(x. y)n
9. Dn = y . z .(詳見參考文獻[1]的第369頁第7題的解答.)

10.利用性質(zhì)3.(詳見參考文獻[1]第58頁的例8.)

11.(1)n.3時,行列式的值為0;n=2時,行動式的值為(x1. x2)(y1. y2);n=1時


為1+x1y1..tt.
(2) n! 1+ t +++ .
2 ··· n

12.Dn=(x1+x2++xn).(xi. xj).(詳見參考文獻[1]的第59～60 頁
···
1.j例11.)
13. 3n+1. 2n+1.(提示：先按第1列展開,然后用類似于第4題的解法.)

14..(xi. xj).(詳見參考文獻[1]第59頁例10.)


1.j習題2.5
1.唯一解.(詳見參考文獻[1]的第65～66頁例1.)

2. 當a =1 .且b =0 .時, 有唯一解; 當a =1 且b = 12 時, 有無窮多個解; 當a =1 且


b =.12 時,無解;當b=0時,也無解.(詳見參考文獻[1]的第66～68頁例3.)
3.有非零解當且僅當λ=1或λ=3或λ=5.(詳見參考文獻[1]的第66頁例2.)
4.利用本節(jié)定理1和范德蒙行列式可得,存在唯一的次數(shù)小于n的多項式函數(shù)經(jīng)過所給的n個點.