數(shù)起源于數(shù)，1，2，3，4，5……分之不盡，出現(xiàn)分?jǐn)?shù)和小數(shù)；減之不夠，出現(xiàn)負(fù)數(shù)；小數(shù)的位數(shù)無限，甚至可以無窮（如1/3=0.333…），因而得出完整的數(shù)系，數(shù)學(xué)家稱之為實數(shù)體系。用這樣的數(shù)系我們可以刻畫宇宙之大，核子之微，天長地久，剎那瞬間。多，即使其再多，我們也不愁有把整數(shù)用完了的一天。精，即使其再精，我們也不愁有把小數(shù)用盡了的一天。就這樣，實數(shù)系統(tǒng)煥然備矣。數(shù)的用場是用來刻畫量。量起源于量，依一定的單位，反復(fù)度量而得數(shù)。量有各種各樣的量，度量的單位也可以任意取定。例如：尺寸、斤兩、分秒、溫度、伏特、歐姆、勒克斯、卡路里等等。量雖不同，單位也可能取的不同，但一旦取定之后，刻畫這些量的仍然還是這么一套數(shù)。因此，數(shù)是各種各樣量的共性。在研究數(shù)的時候，往往強調(diào)其理論的一面，力求完整，但在實際運用到特殊量上去的時候，又必須加以特殊的、應(yīng)有的限制，使其符合客觀需要。例如，用攝氏表研究溫度的時候，比-273℃更小的數(shù)就沒有意義。因為-273℃是絕對零度，更低的溫度不存在了。又如研究一個城市的人口數(shù)，或一定體積內(nèi)的分子數(shù)的時候，我們所用的數(shù)只能是正整數(shù)。城市的人口出現(xiàn)了小數(shù)豈不荒誕？出現(xiàn)了負(fù)數(shù)更是笑話。正數(shù)、負(fù)數(shù)看來是對稱的，也就是人在0處站，左正右負(fù)，或左負(fù)右正都無不可，但在用數(shù)來刻畫時間時，正負(fù)之間卻大有不同。人處于“現(xiàn)在”，看過去與未來也大不一樣�！巴�事越千年”與“一萬年太久”，并非-1000與+10000那樣。昨日事，事無巨細(xì)已成定局，而日月天卻還有不少難定之處。過去的一去而不復(fù)返了，時乎時乎不再來，并不像東行三里，再西行三里，回到原地那樣。貨物運往天津再運回來，貨物雖然仍回原地，但時間卻加倍流逝了。回到原時是永不可能的。小孩學(xué)數(shù)數(shù)，從一個、兩個、三個開始，然后他會數(shù)到五個、十個了，再進(jìn)一步他會數(shù)到100，200……最后來個飛躍，說任何數(shù)他全會數(shù)了。學(xué)小數(shù)也如此，最后必然是任何小數(shù)他都學(xué)會了。真的有人把所有的整數(shù)都數(shù)過一遍嗎？真的有人數(shù)到無窮嗎？沒有！不可能！如果有人真的企圖這樣做，這人一定是還沒有“識數(shù)”。計算小數(shù)也如此。三人分一元錢，每人得三角三分足矣。三厘三毫三絲三忽多余事也，勞而無功。測量工具也有限度，以尺為例，有寸有分，用它來量東西，得寸得分，還可以估一估，估出多少厘來。厘以下連估都無法估了。不要以為寫的小數(shù)位數(shù)愈多便愈精確，實質(zhì)上，多到了超過限度，超過需要，那是既浪費精力，又不能說明任何問題，反而會導(dǎo)致混淆。精密度是根據(jù)客觀需要而提出的要求。制造精密儀器有時真的要準(zhǔn)到一忽，一絲一忽之差都是不能允許的。有些特殊化學(xué)品的提純，硬是要提到八個九，即99.999999％，含糊不得。但另一方面在估計煤礦礦藏的時候，幾噸又不足道了，精益求精的原則是對的，是正確的原則。但多幾位不可靠的或無足輕重的數(shù)字，并不表示精，相反地卻表示了粗，把不可靠的，或無足輕重的東西都摻雜進(jìn)去了！客觀情況是：取數(shù)據(jù)只能有限次，每次只能取有限位精確度的數(shù)據(jù)。實際計算時，無論用手算、算盤算、，或近代的數(shù)字計算機(jī)算，總只能在有限位、有限個數(shù)據(jù)上進(jìn)行有限次的運算，得出的答數(shù)必然也是有限個有限位數(shù)字。同時，客觀需要也并不是無限精密的，這樣的性質(zhì)，我們可以稱之為有限性，數(shù)學(xué)家也愛用他們自己的術(shù)語——“離散性”。近代數(shù)學(xué)的特點之一在于重用無窮性、連續(xù)性。這是一個飛躍。這是高等數(shù)學(xué)的起點。這樣可以描繪一瞬間的變化，無窮多個因素間的關(guān)系，這是它的優(yōu)越性。但如果以為高了就一定是好的，就可以用無窮來代替有限，用連續(xù)來代替離散了，那可未必。事實上，“無窮與有限”、“連續(xù)與離散”是矛盾統(tǒng)一中的兩個對立面。在研究沙的運動的時候，人所共知，沙是離散的，但在多到了不可勝計的時候，我們又把它作為連續(xù)的現(xiàn)象來處理。然而在實際計算的時候，又往往把無窮變?yōu)橛邢�，連續(xù)化為離散，微分代以差分來處理。
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