17世紀(jì)的歐洲，涌現(xiàn)出許多精妙的科學(xué)問(wèn)題，奠定了變分法的重要性，例如，F(xiàn)ermat （1662）的幾何光學(xué)問(wèn)題：光在任意介質(zhì)中從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)時(shí)，沿所需時(shí)間最短的路徑傳播，又稱最小時(shí)間原理或極短光程原理．Galileo （1638）提出的最速下降線（brachistochrone curve）問(wèn)題，由Bernoulli兄弟（1696），Leibniz和Newton所解決．對(duì)變分法的發(fā)展起到?jīng)Q定性作用的數(shù)學(xué)家是Euler和Lagrange.眾多的數(shù)學(xué)家對(duì)變分法的發(fā)展起到了推動(dòng)的作用，他們是Bliss，Bolza，Caratheodory，Clebsch，Hahn，Hamilton，Hilbert，Kneser，Jacobi，Legendre，Mayer，Weierstrass等，對(duì)變分法的發(fā)展具有里程碑意義的工作有以下三項(xiàng)．
　�。�1）極小曲面問(wèn)題的研究．Lagrange （1762）給出了問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，一批數(shù)學(xué)家Ampere，Beltrami，Bernstein，Bonnet，Catalan，Darboux，Enneper，Haar，Korn，Legendre，Lie，Meusnier，Monge，Muntz，Riemann，H.A. Schwarz，Serret，Weierstrass，Weingarten等對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了深入的探討．Douglas和Rado （1930）給出了第1個(gè)完全的證明，Douglas因此獲得Fields獎(jiǎng)．
　�。�2）19世紀(jì)Hilbert研究Dirichlet積分——簡(jiǎn)單的多重變分積分問(wèn)題，將調(diào)和函數(shù)的研究歸結(jié)為變分問(wèn)題，并創(chuàng)造了所謂的直接方法．這個(gè)威力巨大的工具，被廣泛用來(lái)研究偏微分方程在Sobolev空間內(nèi)解的存在性．
　　（3）1900年，Hilbert在巴黎召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)問(wèn)題供20世紀(jì)重點(diǎn)發(fā)展的研究方向，其中有3個(gè)問(wèn)題（第19，20，23）與變分法有關(guān)．
　　本書(shū)是給數(shù)學(xué)系高年級(jí)本科生和研究生講授變分法的基本內(nèi)容，希望能在Sobolev空間的框架下，講授多重積分泛函的變分方法．內(nèi)容包括泛函的一階變分、二階變分、下半連續(xù)性、補(bǔ)償緊性、集中緊性、Ekeland變分、Nehari技巧等，并介紹了極小曲面的Douglas方法和等周不等式的證明，基本內(nèi)容所需知識(shí)做到自包含，通過(guò)本書(shū)的學(xué)習(xí)，可以進(jìn)入相關(guān)領(lǐng)域的研究，