本書是作者在新加坡國立大學、北京大學和中國科學院大學為本科高年級學生開設的數(shù)理邏輯選修課和在新加坡國立大學、中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院為研究生開設的專業(yè)課程所寫講義基礎上整理出來的結果。本書主要由一階邏輯的核心內容和有關數(shù)的邏輯探索和分析兩大部分組成，其中包括完備性、緊致性、同質縮小、型省略等基本定理；有關數(shù)的經典理論的完全性和可定義性分析；哥德爾不完全性定理、丘奇不可判定性定理、塔爾斯基自然數(shù)標準模型真相不可定義性定理以及巴黎-哈靈頓不完全性定理。
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目錄
《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》序
序言
第0章 引言 1
第1章 命題邏輯 10
1.1 基本問題 10
1.2 命題表達式 12
1.3 邏輯賦值與可滿足性 14
1.4 布爾函數(shù)可表示性 16
1.5 可證明性與一致性 19
1.6 形式證明的幾組例子 22
1.7 完備性 28
1.8 第一完備性證明 30
1.9 命題邏輯緊致性 34
1.10 命題范式 35
1.11 命題邏輯與布爾代數(shù) 38
1.12 練習 40
第2章 一階語言和一階結構 43
2.1 一組經典例子 43
2.2 一階語言 44
2.2.1 符號 44
2.2.2 項 45
2.2.3 表達式 47
2.2.4 自由變元和受囿變元 50
2.2.5 替換與可替換性 51
2.3 一階結構 52
2.3.1 項賦值 53
2.3.2 滿足關系 54
2.3.3 局部確定性定理 55
2.3.4 替換定理 59
2.3.5 縮寫表達式 68
2.4 幾個一階語言和結構的例子 69
2.5 數(shù)與數(shù)的集合 79
2.5.1 自然數(shù) 81
2.5.2 整數(shù) 84
2.5.3 有理數(shù) 85
2.5.4 實數(shù) 86
2.5.5 復數(shù) 91
2.6 練習 91
第3章 一階結構之同構、同樣與同質 93
3.1 預備知識：可數(shù)與不可數(shù) 93
3.2 一階結構之同構與同樣 95
3.2.1 有理數(shù)軸 95
3.2.2 同構 100
3.2.3 同樣 103
3.3 可定義性 104
3.3.1 可定義性 104
3.3.2 不變性 107
3.3.3 實數(shù)軸區(qū)間定理 108
3.4 同質子結構 110
3.4.1 子結構、擴充結構與裁減結構 110
3.4.2 結構元態(tài)與全息圖 112
3.4.3 同質子結構 112
3.4.4 同質與同樣 113
3.4.5 塔爾斯基判定準則 114
3.4.6 實數(shù)軸同質子軸 116
3.4.7 同質縮小定理 117
3.4.8 稠密線性序 120
3.4.9 嵌入與同質嵌入 120
3.5 練習 123
第4章 邏輯推理與邏輯結論 128
4.1 邏輯推理 128
4.1.1 邏輯公理 128
4.1.2 推理 129
4.2 推理細致分析定理 130
4.2.1 演繹定理 130
4.2.2 全體化定理 133
4.2.3 常元省略定理 133
4.2.4 等式定理 136
4.3 邏輯結論 138
4.3.1 可滿足性 138
4.3.2 真實性與模型 138
4.3.3 邏輯結論 140
4.3.4 基本問題 141
4.3.5 范例 141
4.4 一階邏輯系統(tǒng)之完備性 149
4.4.1 可靠性定理 149
4.4.2 哥德爾完備性定理 152
4.4.3 極大一致性 152
4.4.4 自顯存在特性 153
4.4.5 可滿足性定理 155
4.4.6 擴展定理 164
4.4.7 節(jié)省常元方法 166
4.5 LA-哥德爾完備性定理 168
4.5.1 謂詞符省略引理 169
4.5.2 函數(shù)符省略引理 169
4.5.3 無關符號忽略定理 170
4.5.4 前束范式 171
4.6 練習 176
第5章 同質放大模型 178
5.1 緊致性定理 178
5.1.1 關于有限之概念 178
5.1.2 關于秩序之概念 182
5.2 同質放大定理 182
5.3 第二緊致性定理 184
5.4 超積和超冪 186
5.4.1 超濾子存在定理 186
5.4.2 超積與超冪 187
5.4.3 超積基本定理 189
5.4.4 超積構造六例 191
5.5 同質放大鏈 193
5.6 練習 199
第6章 完全性與模型完全性 202
6.1 完全性 202
6.1.1 等勢同構 205
6.1.2 有理數(shù)區(qū)間代數(shù)理論 206
6.1.3 可數(shù)廣集模型 209
6.2 量詞消去 210
6.2.1 完全性充分條件 213
6.2.2 Todl適合量詞消去 214
6.3 子結構完全性 222
6.3.1 Todl具備子結構完全性 226
6.3.2 TdBA具備子結構完全性 227
6.4 模型完全性 228
6.4.1 量詞簡化 231
6.4.2 模型完全性與*2-理論 236
6.5 練習 237
第7章 可數(shù)模型 240
7.1 類型排斥定理 240
7.1.1 類型 240
7.1.2 接納與排斥 242
7.1.3 例子 246
7.1.4 根本型 248
7.1.5 局部排斥型 249
7.1.6 型排斥定理 251
7.2 可數(shù)等勢同構類型特征 256
7.2.1 可數(shù)等勢同構特征定理 256
7.2.2 可數(shù)模型的個數(shù)與Vaught猜想 261
7.3 類型空間 261
7.3.1 穩(wěn)定性 263
7.3.2 型與超濾子 265
7.4 飽和模型 268
7.4.1 有理數(shù)軸飽和性 268
7.4.2 飽和結構 270
7.4.3 可數(shù)飽和模型 271
7.4.4 w1-飽和結構 277
7.5 基本模型 279
7.6 極度自同構模型 287
7.6.1 非剛性與無差別元集 287
7.6.2 自然數(shù)集合劃分定理 289
7.6.3 無窮無差別元子集模型定理 293
7.6.4 內置斯科倫函數(shù)與斯科倫閉包 294
7.7 練習 298
第8章 代數(shù)封閉域理論 301
8.1 代數(shù)封閉域同構分類 301
8.2 代數(shù)封閉域適合消去量詞 302
8.3 ACF子結構完全性 307
8.4 代數(shù)封閉域飽和特性 308
8.5 復數(shù)域與特征為素數(shù)的代數(shù)封閉域 310
8.6 練習 313
第9章 實封閉域理論 315
9.1 實數(shù)域公理化 315
9.2 實封閉域理論與有序實封閉域理論 320
9.3 有序實封閉域理論適合消去量詞 323
9.4 實封閉域模型完全性 325
9.5 半代數(shù)子集 327
9.6 練習 334
第10章 有理數(shù)加法算術理論 336
10.1 有理數(shù)加法群理論 336
10.1.1 公理刻畫Tdag 336
10.1.2 Tdag-完全性 337
10.1.3 Tdag強極小性 342
10.1.4 T1dag-理論 342
10.1.5 序可定義性問題 343
10.2 有理數(shù)有序加法群理論 345
10.2.1 公理刻畫Todag 345
10.2.2 Todag-完全性 347
10.2.3 Todag-序極小性 349
10.3 練習 350
第11章 整數(shù)加法算術理論 352
11.1 多種整數(shù)加法算術理論 352
11.1.1 六個結構 352
11.1.2 三種公理化 353
11.2 強整數(shù)加法群理論 356
11.2.1 特征0模數(shù)同余加法群理論 356
11.2.2 整數(shù)序不可定義性 361
11.3 整數(shù)有序強加法群理論 362
11.3.1 有序模數(shù)同余加法群理論 362
11.4 普瑞斯柏格算術理論 369
11.4.1 初等整數(shù)有序加法理論TI 369
11.4.2 非標準模型Z0 370
11.4.3 普瑞斯柏格算術理論Tpr 371
11.4.4 Tpr之保守擴充 372
11.5 練習 378
第12章 自然數(shù)序理論與有序加法理論 381
12.1 自然數(shù)序理論 381
12.1.1 自然數(shù)序公理化 381
12.1.2 半整齊模型 384
12.1.3 自然數(shù)序之飽和模型 390
12.1.4 自然數(shù)序理論完全性 395
12.2 自然數(shù)有序加法理論 399
12.2.1 有序強加法幺半群理論 399
12.2.2 有序模數(shù)同余加法幺半群理論 400
12.2.3 保守擴充Toasg 411
12.3 練習 411
第13章 自然數(shù)算術理論 415
13.1 初等數(shù)論 416
13.1.1 初等數(shù)論之不完全性 416
13.1.2 TN與自然數(shù)*1真相 419
13.1.3 *1真相定理之形式證明 424
13.2 哥德爾第一不完全性定理 430
13.2.1 序列數(shù) 432
13.2.2 符號數(shù)與表示數(shù) 435
13.2.3 基本邏輯概念表示 437
13.2.4 邏輯公理謂詞 439
13.2.5 可計算性與遞歸函數(shù) 443
13.2.6 有效公理化與可判定性 449
13.2.7 可表示性 451
13.2.8 哥德爾不動點引理 456
13.2.9 哥德爾第一不完全性定理 457
13.2.10 不可判定性與真相不可定義性 459
13.3 哥德爾第二不完全性定理 460
13.3.1 依定義擴充 461
13.3.2 皮阿諾算術理論遞歸擴充 468
13.3.3 TPA遞歸擴充之*1-完全性 477
13.3.4 PAf知道TPA之*1完全性 480
13.3.5 一個不可被TPA所證明的*1真語句 483
13.3.6 形式化PAf之證明 485
13.4 巴黎-哈靈頓劃分原理之獨立性 488
13.4.1 自然數(shù)壓縮寫像劃分原理 488
13.4.2 拉姆齊有限劃分定理 492
13.4.3 皮阿諾算術模型中無差別元子集 493
13.4.4 巴黎-哈靈頓劃分原理獨立于皮阿諾算術理論 497
13.5 練習 499
索引 502
《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》已出版書目 511
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