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激波（或稱沖擊波）的產(chǎn)生與傳播是一個普遍的物理現(xiàn)象。例如在連續(xù)介質中的爆破通常會產(chǎn)生一個激波由爆破源往外傳播，在超過音速的高速飛行物體前方通常也總會有一個激波隨之一起運動。在空氣動力學的研究中激波的運動（包括其生成、傳播、反射等）占著極其重要的地位，對激波運動的理論研究涉及許多困難的數(shù)學問題。本書以偏微分方程為主要工具對激波反射所涉及的數(shù)學問題做深入的分析。為方便讀者，本書結合以后展開討論的需要先介紹流體力學方程組以及激波的一些基本事項，然后對定常與非定常的激波反射，正則反射與馬赫反射都逐一進行分析，并對其中一些重點的問題給出詳細的數(shù)學證明。同時，本書也提出一些未解決的問題并指出其中會遇到的困難，期待后續(xù)研究能有新的推進。本書適合有關專業(yè)的研究生與科研人員、工程技術人員閱讀，希望能有助于讀者迅速進入這一研究領域。

在連續(xù)介質 (如流體)的運動中激波 (或稱沖擊波)的產(chǎn)生與傳播是一個普遍的物理現(xiàn)象.例如，在連續(xù)介質中的爆破通常會產(chǎn)生一個激波由爆破源往外傳播.在

超過音速的高速飛行物體前方通常也總會有一個激波隨之一起運動.激波的特點是在一個很薄的運動介質薄層中介質的狀態(tài)發(fā)生急劇變化，從而在激波的前方與后方，介質的物理參量例如速度、壓力、密度、溫度等均會有顯著的變化.激波的出現(xiàn)對其周圍運動介質的物理狀態(tài)將會產(chǎn)生極大的影響.當激波運動遇上障礙物被反射時，其反射會表現(xiàn)出巨大的威力或破壞力.因此，對于激波的生成、傳播以及反射過程的深入了解極其重要，它也往往是相關的工程技術的關鍵點，受到特別的關注.由于激波以及它可能遇到的障礙物類型各異，所以由激波反射所導致的流場與非線性波結構可以十分復雜，從而精確地了解激波反射的過程及其所導致的效應既十分重要又相當困難.

通常人們通過理論、實驗以及計算三種方法對流體力學的各類問題包括激波運動展開研究.理論研究提供研究對象的定性特征，從而為實驗與計算研究提供理論支持，其成果廣泛地應用于工程技術.由于理論研究往往是在許多理想的假定下進行的，實際問題往往比這些理想的假定條件要復雜得多，隨著科學技術的發(fā)展與研究的深入，對理論研究的要求也越來越高.例如，在激波反射問題中當假設入射激波與作為障礙物的表面都是平面時，現(xiàn)有的理論分析可以準確地給出反射激波的位置以及波后的流動狀態(tài).但一般情形下入射激波與障礙物的表面不是平面，那時就必須用更深入的數(shù)學工具，將所研究的問題歸結為偏微分方程的邊值問題來處理.這時，關于相應問題解的存在性、穩(wěn)定性等理論分析成果還是相當欠缺的.可以說與實驗和計算技術相比，現(xiàn)有的理論研究還相對比較粗糙，特別是用數(shù)學分析方法進行精確理論分析的研究是相對滯后的.

實驗或數(shù)值計算雖然能提供發(fā)展工程技術所需要的數(shù)據(jù)，但實驗或數(shù)值計算正是在正確的理論指導下展開的.由于近代工程技術的發(fā)展對數(shù)據(jù)的要求越來越高，如果能用近代的數(shù)學工具提供精確的理論分析，將能為實驗與數(shù)值計算提供堅實的理論基礎，或有可能提供新的計算方法，實質性地增強所獲得成果的可靠性.著名的數(shù)學家與力學家R.Courant在其名著《超音速流與激波》(Supersonic Flow and Shock Waves)[31]中這樣寫：工程師與物理學家對數(shù)學分析結果的信心最終應依賴于證明所得到的解是由問題的資料所唯一決定.為將本書中所介紹的理論發(fā)展到這樣一個層次，使它滿足應用的需要，又符合自然科學發(fā)展的要求，尚需做出巨大的努力.這段話應該是對于用數(shù)學分析方法對諸多物理問題進行理論研究重要性的很好的詮釋.

本書將以偏微分方程為主要工具對激波反射所涉及的數(shù)學問題做深入的分析.我們知道，激波反射一般是一個運動的過程，因此它在流體力學問題的研究中屬于與時間相關的非定常流問題.然而，在特定的條件下，它可以關于時間是穩(wěn)定不變的，或者可以選取跟隨質點運動的坐標系使得在此坐標系中激波及其周圍流場參量與時間無關，從而可以作為定常流問題進行討論.本書中將先后對定常流與非定常流中的激波反射現(xiàn)象進行討論.

激波反射現(xiàn)象的一個特點是隨著激波入射角的不同，在反射點附近會出現(xiàn)完全不同的非線性波結構.通常有類似于線性波反射的正則反射結構與完全不同于前者的含三叉交點的Mach結構.含Mach結構的激波反射稱為Mach反射，Mach結構的出現(xiàn)，使得對于激波反射的研究陡增了復雜性.我們將在本書中對于正則反射與Mach反射局部解的存在性與穩(wěn)定性給予證明，它對于了解與建立激波反射完整的數(shù)學理論是基本的.

激波反射問題的求解不僅與反射點附近的給定條件有關，它通常還依賴于遠處的環(huán)境條件，所以必須研究激波反射問題的整體解.但由于大范圍的條件往往十分復雜且不容易確定，故整體解的研究也更為困難.可喜的是，現(xiàn)在對一些特定的問題的研究已有了一定的進展.

本書第一章先介紹流體力學方程組以及激波的一些基本事項，它在后續(xù)討論中被反復用到，其主要內(nèi)容可以在[31]、[60]中找到.第二章集中討論激波極線的性質，這些性質對于研究激波運動的數(shù)學分析是必要的，但以往這些性質的闡述或證明常散見于不同的文獻中，在本書中我們對此做了集中的歸納，有些性質

(特別是關于位勢流方程激波極線的性質)是第一次明確地提出與證明.第三章介紹定常激波正則反射的數(shù)學分析，由于這個問題與超音速流對于具尖前緣楔形物體的繞流問題在數(shù)學處理上本質上一致，故在討論二維空間中定常激波反射問題時采用了[48]中發(fā)展的方法，在討論三維空間中定常激波反射問題時采用了[17]中發(fā)展的方法.第四章介紹定常激波Mach反射的數(shù)學分析，按物理問題的不同特性可分為E{E型的Mach反射與E{H型的Mach反射，這一章的內(nèi)容主要取自[19]與[24].第五章討論非定常激波反射的數(shù)學分析，其各節(jié)內(nèi)容分別取自[15]、[10]、[20].第六章中列出了一些尚未解決而頗具挑戰(zhàn)性的問題，對激波反射問題的研究今后的發(fā)展做了展望.G.Ben-Dor在其著作《激波反射現(xiàn)象》(Shock Waves Reection Phenomena)一書中詳細地介紹與分析了激波反射中出現(xiàn)的各種現(xiàn)象與實驗研究成果[5].從中更可以看到利用以偏微分方程為基礎的數(shù)學理論對激波反射中諸多問題的研究還處于起步階段，很多問題有待研究與解決.筆者希望本書的出版能引起讀者的興趣，并為其進入這一研究領域作必要的準備，更期待后續(xù)研究能有新的推進.

在本書的寫作中筆者還參考了許多其他文獻中的方法與成果，均在引用時有所注明.此外，筆者還與學術界同行有過許多討論，得益匪淺，在此一并表示感謝.然而由于筆者能力與知識的局限，在本書的取材與闡述上仍有很多不足之處.懇切地盼望讀者們能給予指正與幫助.

陳恕行

2018年2月1日

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