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本書是作者在北京大學開設通識教育核心課程“音樂與數學”的講義基礎上編寫而成的。本書通過介紹音樂與數學（也包括一些聲學方面的知識）之間密不可分、卻又往往不為人知的關系，探討音樂這門抽象的藝術與數學和自然科學之間的互動，比較兩者的思想方法之異同，打通文理界限，提高學生的藝術修養(yǎng)和分析能力，達到提高學生綜合素質的目的。因為是面向全校各個專業(yè)方向的本科生，所以在課程設計方面并不要求讀者具有音樂理論方面的先修知識，而是從零開始介紹基礎樂理。在數學方面，只假定讀者具有高中數學的知識水平。對于書中需要用到的幾何、組合計數等方面的知識都盡量做了比較詳細、直觀的介紹。為了既保持敘述的連貫性，又保持數學邏輯的完整性，我們把作為現代音樂理論基礎的集合理論及其相關的基礎知識集中起來作為附錄A，同時把音樂變換理論所需要的群論工具，單獨寫了一個附錄B放在書的末尾，專門介紹群論的基本概念和與本書內容相關的定理和方法等，以供讀者隨時查詢。全書內容大致可以分成三個部分。第部分包括前三章，從介紹音樂的一些基本知識開始，進而通過弦的振動方程介紹泛音列的生成，梅森定律等，第三章介紹律學。這部分內容是介紹音樂與數學之間關系時總會講到的比較傳統(tǒng)的內容。第四章介紹了一些重要的音樂概念：調式、音階、和弦等，基本上屬于音樂基礎理論，并沒有涉及數學。然而這一章是承前啟后的，它為后面的章節(jié)打下了基礎。第五～八章屬于第三部分，分別介紹了如何用數學方法來分析和理解音樂的三大要素：旋律、節(jié)奏、和聲，以及非確定性在音樂理論和實踐中的作用。書中安排了一些習題，其中一部分是幫助讀者加深理解相關知識的練習，另一部分提供了對正文內容的進一步推廣，還有一些則是提出了引發(fā)讀者進一步思考的問題。本書可供高等學校素質教育、通識教育同類課程的教材或者教學參考用書, 也可供音樂、數學等領域的研究者參考。對于感興趣的廣大讀者而言，也可以把本書作為音樂與數學方面的入門導引。

目錄第一章音樂基礎知識............................................1 x1.1 聲音...................................................1 x1.2 樂音體系................................................6 x1.3 唱名...................................................11 x1.4 音樂的坐標系||五線譜....................................13 x1.5 音程...................................................16 x1.6 協(xié)和音程與不協(xié)和音程.....................................20 第二章弦的振動................................................24 x2.1 一維振動方程............................................24 x2.2 一維振動方程的解.........................................25 x2.3 振動模態(tài)與泛音...........................................27 x2.4 達朗貝爾行波解...........................................29 x2.5 傅里葉級數與撥弦振動.....................................31 第三章樂律||樂音體系的生成...................................38 x3.1 三分損益法..............................................38 x3.2 畢達哥拉斯五度相生律.....................................41 x3.3 純律與中庸律............................................44 x3.4 平均律..................................................49 x3.5 音分...................................................54 x3.6 連分數..................................................56 第四章調式、音階與和弦.........................................61 x4.1 調式與音階..............................................61 x4.2 和弦...................................................65 x4.3 調式中的和弦............................................68 第五章音樂與對稱..............................................76 x5.1 等價關系與音類...........................................76 x5.2 旋律的移調變換...........................................81 viii 目錄 x5.3 旋律的逆行與倒影.........................................86 x5.4 旋律的變換群............................................89 x5.5 十二音技術..............................................95 x5.6 音列的計數..............................................101 第六章節(jié)奏...................................................109 x6.1 固定節(jié)奏型..............................................109 x6.2 節(jié)奏型的影子與輪廓.......................................113 x6.3 比約克倫德算法與歐幾里得節(jié)奏..............................116 x6.4 相移與《拍掌音樂》........................................118 第七章和弦與音網..............................................127 x7.1 和弦的幾何..............................................127 x7.2 音階...................................................136 x7.3 三和弦之間的變換.........................................142 x7.4 音網...................................................146 x7.5 新黎曼群................................................153 第八章音樂與隨機性............................................160 x8.1 音樂骰子游戲............................................160 x8.2 隨機音樂................................................166 x8.3 馬爾科夫鏈..............................................170 x8.4 有色彩的噪聲, 1=f 音樂.....................................174 附錄A 集合與映射..............................................180 附錄B 與書中內容有關的群論知識..................................185 參考文獻.......................................................195 名詞索引.......................................................200 人名索引.......................................................206

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