本書系統(tǒng)介紹了各類常用幾何形狀微分求積升階譜有限單元的構(gòu)造方法并給出了大量算例，一維單元有桿單元和梁?jiǎn)卧�，二維單元有C0和C1三角形和四邊形單元，三維體單元有四面體、三棱柱和六面體單元。給出的算例有靜力學(xué)問題也有動(dòng)力學(xué)問題，有各向同性材料也有各向異性材料和疊層復(fù)合材料，有線性問題也有非線性問題，有平板也有殼體和實(shí)體結(jié)構(gòu)。本書主要側(cè)重算法，但也對(duì)高階網(wǎng)格生成做了介紹。
有限元方法自20世紀(jì)60年代正式提出以來便以其有效性和通用性得到工程、科研人員的普遍重視，并廣泛應(yīng)用于各類工程領(lǐng)域。傳統(tǒng)有限元技術(shù)主要通過加密網(wǎng)格來提高精度（h-型），該方法以其簡(jiǎn)單有效、數(shù)值特性良好已經(jīng)成為各大商用軟件的主流方法，經(jīng)過多年的發(fā)展以及工程問題的檢驗(yàn)，其相關(guān)技術(shù)已日趨成熟。然而，傳統(tǒng)有限元方法在實(shí)際應(yīng)用中通常會(huì)出現(xiàn)收斂速度較慢、復(fù)雜模型前處理困難以及難以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)分析等困難．據(jù)統(tǒng)計(jì)工程分析中80%以上的時(shí)間用于前處理，這些問題已經(jīng)成為傳統(tǒng)有限元方法發(fā)展的瓶頸。伴隨傳統(tǒng)低階有限元方法技術(shù)的發(fā)展，通過提高多項(xiàng)式的階次來提高精度（p-型）的高階有限元方法也在發(fā)展，由于該方法采用很少的自由度即可得到很高精度的結(jié)果，因此得到工程、科研人員的廣泛研究。Babuska等從理論上證明了p-方法具有比h-方法更好的收斂特性，在合適的網(wǎng)格下甚至能達(dá)到指數(shù)收斂速度。研究表明高階方法對(duì)網(wǎng)格奇異和各種閉鎖問題不敏感。如果在自由度安排上，p階單元矩陣是p+1階單元矩陣的一個(gè)子陣，則稱為升階譜有限元方法。Zienkiewicz在20世紀(jì)70年代提出了升階譜有限元方法的概念，該方法以其易于實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)分析的特點(diǎn)而得到認(rèn)可，并在20世紀(jì)七八十年代得到迅速發(fā)展。其中，我國(guó)學(xué)者諸德超教授的研究工作對(duì)一升階譜單元的構(gòu)造做出了突出貢獻(xiàn)，其對(duì)目前升階譜方法中廣泛采用的正交基函數(shù)的構(gòu)造做出了重要貢獻(xiàn)。Babuska等在1989年創(chuàng)建了ESRD公司并發(fā)布了□□套p-型單元程序StressCheck。值得指出的是，高階方法對(duì)單元的幾何精度提出了更高的要求，同時(shí)由于數(shù)值穩(wěn)定性等問題，使得升階譜有限元方法的應(yīng)用遠(yuǎn)沒有常規(guī)有限元方法普及。
20世紀(jì)80年代，Bellman等提出了微分求積方法來求解微分方程的初邊值問題。90年代Bert等將微分求積方法引入到結(jié)構(gòu)分析中，應(yīng)用表明該方法不僅計(jì)算精度高，同時(shí)還具有計(jì)算量小的特性，因此受到廣泛關(guān)注。其高精度主要是因?yàn)椴捎昧嘶诜蔷鶆蚍植冀Y(jié)點(diǎn)的全局插值函數(shù)。□初的微分求積方法由于采用強(qiáng)形式的計(jì)算格式，使得該方法在邊界條件的處理、單元的組裝上存在困難。微分求積方法非均勻結(jié)點(diǎn)的應(yīng)用對(duì)降低結(jié)構(gòu)矩陣的條件數(shù)具有良好作用，但在處理不規(guī)則區(qū)域的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)還是容易出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算困難。邢譽(yù)峰和劉波把微分求積方法和微分方程的弱形式相結(jié)合，提出了微分求積有限元方法，有效降低了導(dǎo)數(shù)階次，并使得其在邊界條件施加和單元組裝方面與常規(guī)有限元方法一樣，解決了微分求積方法的上述難題。該方法□具有特點(diǎn)的地方是把微分求積結(jié)點(diǎn)取為高斯一洛巴托積分點(diǎn)，使得在充分利用微分求積方法高精度特性的同時(shí)離散了勢(shì)能泛函并盡可能地減少了計(jì)算量。微分求積有限元方法在計(jì)算過程中表現(xiàn)出計(jì)算精度高、計(jì)算量小等特點(diǎn)。但由于微分求積有限元方法采用拉格朗日函數(shù)的張量積形式作為二維和三維問題的基函數(shù)，從而使得局部的網(wǎng)格加密會(huì)引起全局網(wǎng)格的變化、鏈接不同自由度的單元以及構(gòu)造采用非均勻分布結(jié)點(diǎn)的三角形單元變得困難。
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