本書系統(tǒng)介紹**化問題的穩(wěn)定性分析的基本理論，討論穩(wěn)定性理論在具體優(yōu)化問題中的應用，基本理論部分包括變分分析的相關素材、對偶理論、集值映射的穩(wěn)定性概念及相互關系、穩(wěn)定性質(zhì)和微分準則、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.應用部分包括凸優(yōu)化問題的穩(wěn)定性分析、一般優(yōu)化問題的穩(wěn)定性分析及三類錐規(guī)劉(非線性規(guī)劃、二階錐約束優(yōu)化及半定優(yōu)化)問題的穩(wěn)定性分析,其中三類錐規(guī)劃問題的穩(wěn)定性分析分別涉及**性條件、Jacobian**性條件、強二階充分性條件、穩(wěn)定性的等價刻畫及孤立平穩(wěn)性等內(nèi)容.
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目 錄
《運籌與管理科學叢書》序
前言
符號說明
第 1 章 變分分析的相關素材 1
1.1 集合間的距離函數(shù) 1
1.2 集值映射 5
1.3 變分幾何與微分 9
1.3.1 切錐與法錐 9
1.3.2 二階切集 20
1.3.3 函數(shù)的廣義微分及次梯度 22
1.3.4 映射的圖微分 25
1.4 投影算子的 Clarke 廣義 Jacobian 28
1.5 半光滑函數(shù) 33
第 2 章 對偶理論 41
2.1 共軛對偶 41
2.1.1 共軛函數(shù) 41
2.1.2 共軛對偶問題 43
2.2 Lagrange 對偶 47
2.3 對偶理論的應用 48
第 3 章 穩(wěn)定性質(zhì)和微分準則 54
3.1 穩(wěn)定性概念 54
3.2 穩(wěn)定性的微分準則 62
3.2.1 Aubin 性質(zhì) 63
3.2.2 強正則性 66
3.2.3 Lipschitz 函數(shù)的可逆性 71
3.2.4 孤立平穩(wěn)性的圖導數(shù)準則 75
第 4 章 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 77
4.1 Ho.man 引理 77
4.2 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 79
4.3 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 83
4.4 抽象約束系統(tǒng)的穩(wěn)定性 90
4.4.1 廣義開映射定理 90
4.4.2 度量正則性 93
4.4.3 約束集合的穩(wěn)定性 95
4.4.4 上 Lipschitz 連續(xù)性與誤差界 100
4.4.5 凸函數(shù)水平集的切錐 102
4.4.6 . = G.1(K) 的切錐 104
4.4.7 . = G.1(K) 的二階切集 105
第 5 章 凸優(yōu)化問題的穩(wěn)定性分析 106
5.1 KKT 系統(tǒng)的強正則性與 Aubin 性質(zhì)的等價性 106
5.2 幾個具體的凸優(yōu)化問題的穩(wěn)定性 108
5.2.1 凸二次規(guī)劃 108
5.2.2 線性半定規(guī)劃 123
5.2.3 線性二階錐優(yōu)化 132
第 6 章 一般優(yōu)化問題的穩(wěn)定性分析 137
6.1 集值映射連續(xù)性 137
6.2 強正則性與一致二階增長條件 138
6.3 C2-錐簡約優(yōu)化問題的穩(wěn)定性分析 145
6.3.1 Jacobian 唯一性條件 145
6.3.2 穩(wěn)健孤立平穩(wěn)性 152
6.4 次微分的正則性質(zhì) 162
6.4.1 強度量正則與強次正則的定義 162
6.4.2 次正則性與二階增長條件 163
6.4.3 次微分的次正則性在 Banach 空間的推廣 168
第 7 章 非線性規(guī)劃的穩(wěn)定性分析 175
7.1 到多面體集合的投影 175
7.2 NLP 約束集合的切錐與二階切集 178
7.3 NLP 的一二階最優(yōu)性條件 179
7.4 Jacobian 唯一性條件 183
7.5 多面體凸集合上的變分不等式的強正則性 186
7.5.1 線性問題解集合的 Aubin 性質(zhì) 187
7.5.2 非線性問題解集合的 Aubin 性質(zhì) 191
7.6 非線性互補問題的穩(wěn)定性 197
7.7 NLP 問題的 KKT 系統(tǒng)的強正則性 198
7.8 NLP 問題的穩(wěn)定性分析 202
7.9 NLP 問題 KKT 映射的穩(wěn)健孤立平穩(wěn)性 207
第 8 章 二階錐約束優(yōu)化的穩(wěn)定性 213
8.1 二階錐簡介 213
8.2 二階錐的變分幾何 214
8.3 二階錐的投影映射 215
8.4 投影算子的伴同導數(shù) 217
8.5 二階錐約束優(yōu)化的最優(yōu)性條件 221
8.5.1 SOP 問題 221
8.5.2 一階必要性條件 222
8.5.3 二階最優(yōu)性條件 224
8.6 二階錐約束優(yōu)化的穩(wěn)定性分析 226
8.6.1 強二階充分條件 226
8.6.2 穩(wěn)定性的等價條件 228
8.6.3 Jacobian 唯一性條件 231
8.7 二階錐優(yōu)化的孤立平穩(wěn)性 237
第 9 章 半定優(yōu)化的穩(wěn)定性分析 254
9.1 非線性半定規(guī)劃的最優(yōu)性條件 254
9.1.1 對稱負半定矩陣錐的切錐 254
9.1.2 對偶性 256
9.1.3 一階最優(yōu)性條件 257
9.1.4 二階最優(yōu)性條件 260
9.2 非線性半定規(guī)劃的穩(wěn)定性分析 262
9.2.1 線性{二次函數(shù) 262
9.2.2 強二階充分條件 264
9.2.3 穩(wěn)定性的等價刻畫 267
9.2.4 Jacobian 唯一性條件 272
9.3 非線性 SDP 問題的 KKT 映射的孤立平穩(wěn)性 278
參考文獻 292
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