阿貝爾及阿貝爾獎（代前言）

阿貝爾獎是以19 世紀挪威天才數(shù)學家尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）的姓氏命名的世界性數(shù)學大獎。

阿貝爾1802 年8 月5 日生于芬島（另一說克里斯蒂安桑）；1829 年4 月6 日卒于弗魯蘭。阿貝爾的父親是村子里的基督教牧師，家庭貧困。阿貝爾中學時代，得到一位很有才華的數(shù)學教師霍爾姆博（Bernt Holmb¨oe）的教誨，這引導他走上了數(shù)學研究的道路。從16 歲開始，阿貝爾在霍爾姆博的指導下學習了牛頓（Isaac Newton）、歐拉（Leonhard Euler）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）、勒讓德（Adrien-Marie Legendre）等人的數(shù)學著作，被同學稱為“數(shù)學迷”。阿貝爾18 歲時，父親便去世了，本來就貧苦的家庭失去了唯一的經(jīng)濟支柱，全靠著幾位教授和鄰居的資助維持生計。在19 歲那年，阿貝爾進入了奧斯陸大學學習。

阿貝爾相當早慧。當他還是一個中學生的時候，就按照高斯（Carl Friedrich Gauss）對二項式方程的處理方法探討了高次方程的可解性問題。起初，他認為自己解一般的五次方程已獲成功， 但很快就發(fā)現(xiàn)了自己的錯誤。進大學后，他繼續(xù)研究這一問題，終于在1824 年撰寫了一篇題目為“論代數(shù)方程，證明一般五次方程不可解性”的論文，該論文 嚴格地證明了一般五次方程不能像低次方程那樣用根式求解，從而解決了困惑數(shù)學家300 年之久的一個難題，這時他年僅22 歲。他自己出資印發(fā)了這篇論文。他在該論文的開頭寫道：“許多數(shù)學家全身心致力于尋求代數(shù)方程的一般解，只有幾位數(shù)學家試圖證明解的不可能性。然而，如果我沒弄錯的話，他們都還未成功。所以我才敢奢望數(shù)學家們善意地接受這篇論文�！卑⒇悹柕倪@篇論文促使數(shù)學家們進一步思考什么樣的特殊方程能用根式求解，最終推動了伽羅瓦群的發(fā)現(xiàn)和代數(shù)方程根式可解問題的徹底解決。法國數(shù)學家勒讓德說：“這項工作是阿貝爾的永恒紀念碑�！绷硗�，阿貝爾在1823 年還發(fā)表了其他一些論文，其中包括《用定積分解某些問題》。該論文首次給出了積分方程的解，從而為積分方程在19 世紀末20 世紀初的全面發(fā)展開辟了道路。

阿貝爾深刻的數(shù)學思想超出了挪威數(shù)學界所能理解的水平，因此他渴望出訪德、法等國。在朋友和教授們的支持下，經(jīng)過和政府的多次交涉，他才獲取了一筆數(shù)目不大的出國獎學金。

在柏林期間，吸收了高斯、柯西（Augustin-Louis Cauchy）注重嚴格證明推導的學風，對分析中邏輯混亂、概念不清以及證明中的有失嚴格深為不滿。他曾尖銳地指出：“人們在分析中確實發(fā)現(xiàn)了驚人的含糊不清之處。這樣一個完全沒有計劃和系統(tǒng)的分析，竟有那么多人研究過它，真是奇怪。最壞的是，大家從來沒有嚴格地對待過分析。”他給出了二項式定理對于所有復指數(shù)都是正確的證明，從而奠定了冪級數(shù)收斂的一般理論，也是第一次給出這種級數(shù)展開式成立的可靠證明，從而解決了在實數(shù)和復數(shù)范圍內(nèi)分別求冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑的問題。他還糾正了柯西關于連續(xù)函數(shù)的一個收斂級數(shù)的和一定連續(xù)的錯誤，并給出了例子： …。雖然此級數(shù)的每一項都是連續(xù)的，但是，在一定條件下，此級數(shù)的和是不連續(xù)的。他還利用一致收斂的思想，正確地證明了“連續(xù)函數(shù)為項的一個一致收斂級數(shù)的和，在收斂域內(nèi)是連續(xù)的”，可惜他當時未能從中把一致收斂的性質(zhì)抽象概括出來，形成普遍的概念。阿貝爾的這些工作有力地推進了分析學的嚴格化。

阿貝爾在柏林結(jié)識了一位熱情的業(yè)余數(shù)學愛好者克雷勒（August Leopold Crelle），克雷勒對阿貝爾的才華十分敬佩。阿貝爾則鼓勵克雷勒創(chuàng)辦《純粹與應用數(shù)學學報》，這是世界上專載數(shù)學研究的第一本學術(shù)刊物。該刊物前3 期便登載了阿貝爾22 篇文章，他的《論代數(shù)方程，證明一般五次方程不可解性》就發(fā)表在創(chuàng)刊號上。阿貝爾把他關于五次方程的論文寄給哥廷根大學的高斯，想借此作為晉謁高斯的通行證。但不知什么原因，高斯根本未看（高斯死后30 年，人們發(fā)現(xiàn)其遺物中的這篇論文還沒有啟封），阿貝爾覺得受到冷遇，決心不再見高斯，而徑自前往巴黎。

在巴黎，他 會見了柯西、勒 讓德、狄 利克 雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）等人，但這些會面也是流于敷衍，因為《純粹與應用數(shù)學學報》這本新刊物當時在法國幾乎無人知道，而阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談論自己的著作，因此人們并沒有真正認識到他是天才。在巴黎期間， 阿貝爾完成了論著《論一類廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)》。在這一論著中研究了∫R（x，y）dx 類型的積分，其中R（x，y）是x，y 的任意有理函數(shù)，而y 表示x 的代數(shù)函數(shù)。這時，特別要區(qū)別下列兩種情況：若y 表示三次和四次多項式的平方根，則積分為橢圓積分；若y 表示高于四次多項式的平方根，則積分稱為超橢圓積分。形如∫R（x，y）dx 的積分，在數(shù)學中稱為阿貝爾積分。阿貝爾當時把該論著呈給法國科學院，希望這能引起法國數(shù)學家們對他的注意，勒讓德和柯西被任命為評審人。但不幸的是，柯西把稿件帶回家時，不知放在什么地方了，完全把它忘記了。阿貝爾空等了一段時間，終因旅資用盡而不得不返回柏林。

在柏林，他完成了關于橢圓函數(shù)的一篇開創(chuàng)性論文，之后就回到了挪威。他原希望回國后能被聘為大學教授，但希望又一次落空。于是阿貝爾只能靠給私人補課，或當代課教師謀生，生活極其困苦，用他自己的話來說“窮得就像教堂里的老鼠”。在這樣艱苦的條件下，他仍堅持科研工作，并寫了多篇關于橢圓函數(shù)的論文。阿貝爾和雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）是公認的橢圓函數(shù)論的奠基人，他發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性，并引進了橢圓積分的反演，從而開創(chuàng)了橢圓函數(shù)這一數(shù)學分支。后來，阿貝爾的聲譽隨著他的研究成果逐漸傳到歐洲的所有數(shù)學中心，但他卻身處消息閉塞之地，毫無所知。更不幸的是，阿貝爾因肺病于1829 年去世，終年不足27 歲。死后的第三天，柏林大學給他的數(shù)學教授聘書才寄到挪威，這也是后世數(shù)學家無不為之深深惋惜的事情—“遲到的聘書”。當?shù)聡鴶?shù)學家雅可比看到阿貝爾《論一類廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)》后，于1829 年3 月14 日寫信給勒讓德質(zhì)問“：阿貝爾先生的這個發(fā)現(xiàn)是什么樣的發(fā)現(xiàn)��！……有誰看見過同樣的東西嗎？這個發(fā)現(xiàn)也許是我們這個世紀最偉大的發(fā)現(xiàn)，在兩年前就給你們科學院了，可你們的同事們怎么會沒有注意到呢？”挪威政府得知了這個質(zhì)問，也讓其駐巴黎的領事就這份遺失的手稿提出了外交抗議。為此，柯西在1830 年把它翻了出來，經(jīng)過討論后，法國科學院于1830 年決定授予阿貝爾數(shù)學大獎。然而，阿貝爾此時已經(jīng)去世了。阿貝爾的一生十分短促，卻在數(shù)學史上留下了光輝的篇章。數(shù)學中以他的

姓氏命名的概念和定理有：阿貝爾群、阿貝爾變換、阿貝爾求和法、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾范疇、阿貝爾擴張、阿貝爾定理、阿貝爾遍歷定理、阿貝爾連續(xù)性定理、阿貝爾方程、阿貝爾積分方程、阿貝爾微分、阿貝爾積分、阿貝爾射影算子、阿貝爾問題……著名數(shù)學家埃爾米特（Charles Hermite）曾說“：阿貝爾留下來的問題，夠數(shù)學家忙150 年。”克雷勒在他主編的《純粹與應用數(shù)學學報》里寫道“：阿貝爾在他的所有著作里都打下了天才的烙印，表現(xiàn)出了不起的思維能力。我們可以說他具有能夠穿透一切障礙深入問題的根底，具有似乎是無堅不摧的氣勢……他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，使他的人品也像他的天才那樣受到不同尋常的愛戴�！钡聡�著名數(shù)學家魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）說“：阿貝爾做出了永恒、不朽的東西！他的思想將永遠給我們的科學以豐饒的影響。

早在1899 年，挪威著名數(shù)學家、李群發(fā)現(xiàn)者S·李（Sophus Lie）得知諾貝爾獎中沒有數(shù)學獎，他就建議挪威設立阿貝爾獎，并得到挪威國王奧斯卡二世（Oscar II）的支持，但不幸S·李突然去世，導致阿貝爾獎未能在20 世紀設立。為了緬懷阿貝爾對數(shù)學的杰出貢獻，為了紀念阿貝爾誕辰200 周年，2001年，挪威首相斯托爾滕貝格（Jens Stoltenberg）提議成立一個以阿貝爾之名尼爾斯冠名的“尼爾斯紀念基金會”�；�金額度為2 億挪威克朗（約合3400 萬美元），以設立面向世界的阿貝爾獎。這個提議得到了挪威政府的支持，并經(jīng)挪威議會投票通過。

設立此獎的宗旨在于提高數(shù)學在社會中的地位，激發(fā)青少年學習數(shù)學的興趣，同時也是彌補諾貝爾獎中未設數(shù)學獎的不足。此獎可以頒發(fā)給終身成就， 也可以頒發(fā)給具體問題的解決。通常，阿貝爾獎是頒發(fā)給一個人的，但也可由合作者分享，沒有國籍、年齡等的限制。

阿貝爾獎獲得者，最初由挪威科學院任命5 名委員組成遴選委員會（其中2 人來自挪威科學院，其余3 人分別來自挪威皇家社會科學院、挪威高等教育委員會、奧斯陸大學）來遴選�，F(xiàn)在，改由世界上5 位一流數(shù)學家組成的遴選委員會來遴選，遴選委員會的委員由歐洲數(shù)學會和國際數(shù)學聯(lián)盟提名，委員會成員任期兩年，其主席任期四年，他們的姓名是公開的。阿貝爾獎得主的提名過程也是公開的，任何人可以提名任何人（自我提名除外），遴選委員會考慮被提名的候選人（也可以由委員會提名候選人），并向挪威科學和文學院推薦獲獎者， 最后由尼爾斯紀念基金會董事會作出正式?jīng)Q定。

挪威政府宣布：自2003 年開始，每年一次向?qū)��?shù)學作出杰出貢獻的數(shù)學家頒發(fā)阿貝爾獎，獎金為600 萬挪威克朗（約合75 萬美元）。挪威官方以最高規(guī)格舉辦頒獎典禮，由挪威國王親自頒獎，并由政府在阿克什胡斯城堡舉辦宴會。美國著名數(shù)學家、國際數(shù)學聯(lián)盟前秘書長格里菲思（P. Griffiths）說“：阿貝

爾獎的設立是數(shù)學界的一件大事。首先，自然是因為阿貝爾始終是最偉大的數(shù)學家之一，……其次，獎金的數(shù)目至少說明數(shù)學與物理、化學、醫(yī)學、經(jīng)濟學等處于同等地位。這將給這個領域帶來大好時機，數(shù)學正進入一個黃金時代。

一個獎項是否讓世人崇敬，最重要的是要看其得主的成就、貢獻是否眾望所歸。在2003—2018 年的16 年中，共評出了19 位阿貝爾獎獲獎者［在這19 位阿貝爾獎得主中：有5 人是菲爾茲獎（其中一人獲得的是菲爾茲特別貢獻獎） 和沃爾夫數(shù)學獎的雙獎獲得者，有1 人是菲爾茲獎獲得者，有7 人是沃爾夫數(shù)學獎獲得者，有1 人是諾貝爾獎獲得者，有1 人是陳省身國際獎獲得者，有1 人是高斯獎獲得者］，他們都是當代數(shù)學大師。阿貝爾有一句名言：“在我看來，一個人如果要在數(shù)學上有所進步，就必須向大師學習�！睘榱耸刮覈鴶�(shù)學愛好者了解這些數(shù)學大師的經(jīng)歷、風采、治學態(tài)度、治學方法、主要成就以及他們對數(shù)學的一些精辟見解，并向這些數(shù)學大師學習，使我國早日成為數(shù)學強國，在數(shù)學界一些朋友的建議和熱忱幫助下，我們根據(jù)有關資料，編輯了此書。

我們在這里要特別感謝：挪威科學與文學院；丹麥奧爾堡大學勞森（M. Raussen）教授，挪威卑爾根大學鄧達斯（B. I. Dundas）教授和挪威科學技術(shù)大學斯考（C. Skau）教授；《數(shù)學譯林》的有關譯者。本書的主要內(nèi)容都是根據(jù)官方公告和對每屆阿貝爾獎得主的訪談錄及其譯文編輯而成的。

本書在編輯過程中還得到了南開大學張偉平院士、北京大學陳維桓教授、北京航空航天大學陳迪榮教授、西南交通大學高隆昌教授、北方工業(yè)大學鄒建成教授、北京聯(lián)合大學張靜教授的幫助；田廷彥先生、上海科學技術(shù)出版社熱忱地提供了有關資料；上�？萍冀逃�出版社及本書的策劃編輯王洋、王喬琦為本書的編輯、出版付出了辛勤的勞動，在此一并致以誠摯謝意。

由于我們水平所限，書中若有不當之處，懇請本書中介紹的數(shù)學大師們及數(shù)學界的同仁和讀者指正。

編者 2018 年12 月