不同維數(shù)的有限元離散
　　美國的總統(tǒng)信息技術(shù)顧問委員會給總統(tǒng)的報(bào)告會強(qiáng)調(diào)：“計(jì)算-科學(xué)同理論和實(shí)驗(yàn)并列，已成為科學(xué)事業(yè)的第2支柱。”
　　既然要考慮計(jì)算科學(xué)，有限元法是自然的選擇。回看結(jié)構(gòu)力學(xué)的有限元法，有五花八門的網(wǎng)格自動生成，而根本沒有恒定維數(shù)下同時間離散的限制。動力學(xué)在有限元離散方面應(yīng)力求與結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元法融合，第三種局限性也要破繭。分析動力學(xué)常微分方程組有恒定維數(shù)的限制。要發(fā)展到偏微分方程，采用各種離散于段進(jìn)行求解是自然的。有限元法提供了思路，可考慮不同維數(shù)的離散。
　　為清楚起見，這里只講空間一維、時間一維，即時一空2維問題。這樣好講些。本書只求破繭，不求做出全面的推進(jìn)，以打開思路為目標(biāo)。因此仍以波動偏微分方程為對象進(jìn)行分析。
　　然而，對空間坐標(biāo)與時間坐標(biāo)分別離散而生成的離散時間空間格點(diǎn)，是規(guī)則的網(wǎng)格。是否能像結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元一樣，將兩種坐標(biāo)混合在一起進(jìn)行有限元離散呢？前面對于不同時間坐標(biāo)進(jìn)行了破繭。這里要考慮不同維數(shù)了。
　　一旦考慮不同維數(shù)，群論就發(fā)生困難了。M．F．Atiyah說：“群在自然中產(chǎn)生，它們是使事物運(yùn)動的東西，它們是變換或置換……。理解這些東西的本性，并且使用它們才是目的�！庇终f：“重要的東西常常不是技術(shù)上最困難的即最難證明的東西，而常常是較為初等的部分。因?yàn)檫@些部分與其他領(lǐng)域、分支的相互作用最廣泛，即影響面最大�！薄霸谌赫撝杏性S多極端重要的，并且在數(shù)學(xué)的各個角落到處都出現(xiàn)的東西。這些是較為初等的東西：群及其同態(tài)，表示的基本觀點(diǎn)、一般的性質(zhì)、一般的方法——這些才是真正重要的。辛矩陣群的乘法本來也有恒定維數(shù)的要求。但偏微分方程的離散求解，時一空混合有限元的網(wǎng)格離散不能拘泥于恒定維數(shù)。這樣，就不是單純的傳遞辛矩陣群了，當(dāng)然也要破繭。在恒定維數(shù)的傳遞辛矩陣群之外，必定要有某些方法處理維數(shù)變化的護(hù)展。
　　為什么要保辛？這是為了保持保守系統(tǒng)的優(yōu)良性質(zhì)。保守系統(tǒng)有變分原理，可保持其優(yōu)良性質(zhì)，例如守恒性等。有限元法是從變分原理推導(dǎo)來的，就繼承了這些優(yōu)良性質(zhì)，大家愿意用。傳遞辛矩陣群不敷應(yīng)用需要，而要破繭之時，也應(yīng)遵循變分原理的思路。
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