《普林斯頓數(shù)學指南（第一分冊）》是由Fields 獎得主T. Gowers 主編、133 位著名數(shù)學家共同參與撰寫的大型文集. 《普林斯頓數(shù)學指南（第一分冊）》由288 篇長篇論文和短篇條目構成, 目的是對20 世紀最后一二十年純粹數(shù)學的發(fā)展給出一個概覽, 以幫助青年數(shù)學家學習和研究其最活躍的部分, 這些論文和條目都可以獨立閱讀. 原書有八個部分, 除第Ⅰ部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是《普林斯頓數(shù)學指南（第一分冊）》的“終曲”以外, 《普林斯頓數(shù)學指南（第一分冊）》分為三大板塊, 核心是第Ⅳ部分“數(shù)學的各個分支”, 共26 篇長文, 介紹了20 世紀最后一二十年純粹數(shù)學研究中最重要的成果和最活躍的領域, 第Ⅲ部分“數(shù)學概念”和第Ⅴ部分“定理與問題”都是為它服務的短條目. 第二個板塊是數(shù)學的歷史, 由第Ⅱ部分“現(xiàn)代數(shù)學的起源”(共7 篇長文)和第Ⅵ部分“數(shù)學家傳記”(96 位數(shù)學家的短篇傳記)組成. 第三個板塊是數(shù)學的應用, 即第Ⅶ部分“數(shù)學的影響”(14 篇長文章). 作為《普林斯頓數(shù)學指南（第一分冊）》“終曲”的第Ⅷ部分“結束語：一些看法”則是對青年數(shù)學家的建議等7 篇文章.中譯本分為三卷, 第一卷包括第Ⅰ~Ⅲ部分, 第二卷即第Ⅳ部分, 第三卷包括第Ⅴ~Ⅷ部分.
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《普林斯頓數(shù)學指南（第一分冊）》是由Fields 獎得主T. Gowers 主編、133 位著名數(shù)學家共同參與撰寫的學科巨著，極具權威性，對20世紀最后一二十年純粹數(shù)學的發(fā)展給出一個概覽, 總結過去指引未來，以幫助青年數(shù)學家學習和研究其最活躍的部分,《普林斯頓數(shù)學指南（第一分冊）》內容生動鮮活，論文和條目都可以獨立閱讀，對于數(shù)學專業(yè)的師生以及對數(shù)學感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經典讀物。
《普林斯頓數(shù)學指南》由普林斯頓大學出版社（PUP）2008年出版，由英國數(shù)學家Gowers （Sir William Timothy Gowers, 1963—)主編。Gowers 是英國皇家學會會員、劍橋大學的純粹數(shù)學與數(shù)理統(tǒng)計教授，在三一學院擔任Rouse Ball講座教授，1998 年因為在泛函分析與組合學中的貢獻而獲得菲爾茲獎。此書由他領銜，組織了133位杰出的數(shù)學家（其中不乏為我國數(shù)學界熟知的知名學者，如M. Atiyah, A. Connes, B. Mazur, C. Fefferman, S. Kleinerman, P. D. Lax,陶哲軒等，按Gowers的說法，就數(shù)學在21世紀之始所面臨的重大問題，各人就其所長，以摘要提綱的形式寫成288個長短各異的條目。Gowers本人撰寫了其中68條，包括一篇長達76頁的引言。這部長達1000余頁的巨著，獲得了美國數(shù)學協(xié)會（Mathematical Association of America, MAA）2011年歐拉圖書獎。
目錄
譯者序
序
撰稿人
目錄
第Ⅰ部分 引論 1
Ⅰ.1 數(shù)學是做什么的 1
Ⅰ.2 數(shù)學的語言和語法 10
Ⅰ.3 一些基本的數(shù)學定義 25
Ⅰ.4 數(shù)學研究的一般目的 72
第Ⅱ部分 現(xiàn)代數(shù)學的起源 115
Ⅱ.1 從數(shù)到數(shù)系 115
Ⅱ.2 幾何學 124
Ⅱ.3 抽象代數(shù)的發(fā)展 143
Ⅱ.4算法 160
Ⅱ.5 數(shù)學分析的嚴格性的發(fā)展.178
Ⅱ.6 證明的概念的發(fā)展 195
Ⅱ.7 數(shù)學基礎中的危機 215
第Ⅲ部分 數(shù)學概念 236
Ⅲ.1 選擇公理 236
Ⅲ.2 決定性公理 239
Ⅲ.3 貝葉斯分析 239
Ⅲ.4 辮群 241
Ⅲ.5 廈 243
Ⅲ.6 Calabi-Yi流形 246
Ⅲ.7 基數(shù) 249
Ⅲ.8 范疇 249
Ⅲ.9 緊性與緊化 253
Ⅲ.10 計算復雜性類 256
Ⅲ.11 可數(shù)與不可數(shù)集合 257
Ⅲ.12 G代數(shù) 260
Ⅲ.13 曲率 260
Ⅲ.14 設計 261
Ⅲ.15 行列式 264
Ⅲ.16 微分形式和積分 266
Ⅲ.17 維 276
Ⅲ.18 廣義函數(shù) 282
Ⅲ.19 對偶性 286
Ⅲ.20 動力系統(tǒng)和淚沌 290
Ⅲ.21 橢圓曲線 291
Ⅲ.22 歐幾里得算法和連分數(shù) 292
Ⅲ.23 歐拉方程和納維-斯托克斯方程 297
Ⅲ.24 伸展圄 302
Ⅲ.25 指數(shù)和對數(shù)畫數(shù) 306
Ⅲ.26 快速傅里葉變換 312
Ⅲ.27 傅里葉變換 314
Ⅲ.28 富克斯群 320
Ⅲ.29 函數(shù)壁間 324
Ⅲ.30 伽羅瓦群 328
Ⅲ.31 Gamma 函數(shù) 329
Ⅲ.32 生成函數(shù) 331
Ⅲ.33 虧格 332
Ⅲ.34 圖 332
Ⅲ.35 哈密頓函數(shù) 333
Ⅲ.36 熱方程 334
Ⅲ.37 希爾伯特空間 340
Ⅲ.38 同調與上同調 342
Ⅲ.39 同倫群 343
Ⅲ.40 理想類群 343
Ⅲ.41 無理數(shù)和超越數(shù) 344
Ⅲ.42 伊辛模型 346
Ⅲ.43 約當法式 347
Ⅲ.44 紐結多項式 350
Ⅲ.45 K理論 354
Ⅲ.46 利奇格網(wǎng) 355
Ⅲ.47 L函數(shù) 355
Ⅲ.48 李的理論 358
Ⅲ.49 線性與非線性被以及孤子 366
Ⅲ.50 線性算子及其性質 373
Ⅲ.51 數(shù)論中的局部與整體 376
Ⅲ.52 芒德布羅集合 381
Ⅲ.53 流形 382
Ⅲ.54 擬陣 382
Ⅲ.55 測度 385
Ⅲ.56 度量空間 388
Ⅲ.57 集合理論的模型 389
Ⅲ.58 模算術 390
Ⅲ.59 模形式 392
Ⅲ.60 模空間 395
Ⅲ.61 魔群 395
Ⅲ.62 賦范空間與巴拿赫空間 396
Ⅲ.63 數(shù)域 398
Ⅲ.64 優(yōu)化與拉格朗日乘子 400
Ⅲ.65 軌道流形 405
Ⅲ.66 序數(shù) 405
Ⅲ.67 佩亞諾公理 406
Ⅲ.68 置換群 407
Ⅲ.69 相變 410
Ⅲ.70 π 411
Ⅲ.71 概率分布 413
Ⅲ.72 射影空間 421
Ⅲ.73 三次型 421
Ⅲ.74 量子計算 424
Ⅲ.75 量子群 428
Ⅲ.76 四元數(shù)，八元數(shù)和賦范除法代數(shù) 434
Ⅲ.77 表示 440
Ⅲ.78 里奇流 440
Ⅲ.79 黎曼曲面 444
Ⅲ.80 黎曼函數(shù) 447
Ⅲ.81 環(huán)，理想與模 447
Ⅲ.82 概型 449
Ⅲ.83 薛定誨方程 450
Ⅲ.84 單形算法 454
Ⅲ.85 特殊函數(shù) 458
Ⅲ.86 譜 466
Ⅲ.87 球面調和 469
Ⅲ.88 辛流形 472
Ⅲ.89 張量積 478
Ⅲ.90 拓撲空間 479
Ⅲ.91 變換 482
Ⅲ.92 三角函數(shù) 490
Ⅲ.93 萬有覆疊 493
Ⅲ.94 變分法 495
Ⅲ.95 簇 500
Ⅲ.96 向量叢 501
Ⅲ.97 馮·諾依曼代數(shù) 501
Ⅲ.98 小波 502
Ⅲ.99 策墨羅-弗朗克爾公理 502
第ⅠⅠ部分引論
I.1 數(shù)學是做什么的
要對“什么是數(shù)學”這樣一個問題給出一個令人滿意的回答,其困難是眾所周知的.本書的處理途徑是：不試圖去回答它.我們不打算給出數(shù)學的定義,而是通過描述它的許多最重要的概念、定理和應用,使得對于什么是數(shù)學有一個好的看法.然而,想使這些材料的信息有意義,對于數(shù)學的內容作某種分類還是有必要的.
對數(shù)學進行分類最明顯的方法是按照其內容來進行.這篇簡短的引論以及下面比較長的條目如一些基本的數(shù)學定義[Ⅰ.3]就是采取的這個方法.但是,這并不是唯一的方法,甚至顯然也不是最好的方法.另一種途徑是按照數(shù)學家們喜歡思考的問題的類型來分類,這會給這門學科以一種不同的視角,而這是很有用的,時常有這樣的情況,兩個數(shù)學領域,如果您只注意它們的主題材料,可能看起來很不相同,但是如果您看一看它們考察的問題,則又十分相似.第Ⅰ部分的最后一個條目數(shù)學研究的一般目的[Ⅰ.4]就是從這個觀點來觀察數(shù)學的.在那篇文章末尾有一個簡短的討論,您可以把它看成是第三種分類,就是并不對數(shù)學本身來分類,而是對數(shù)學期刊的一篇典型論文內容的各個部分來分類.這篇論文里既有定理和證明,也有定義、例子、引理、公式、猜想等等.那里討論的要點就是想說明這些詞是什么意思,以及為什么數(shù)學的產出物里面的這些東西也是很重要的.
1. 代數(shù)、幾何和分析
雖然一旦想把數(shù)學主題分類,就必定立即需要加上種種限制.然而有一個粗略的分類無疑可以作為最初的近似,這就是把數(shù)學分成代數(shù)、幾何和分析.所以我們就以此開始,以后再作各種修飾.
1.1 代數(shù)與幾何的對比
絕大多數(shù)讀過中學的人都會把代數(shù)看成用字母代表數(shù)所得到的數(shù)學.時常會把代數(shù)與算術作一個對照：算術就是對數(shù)作更直接的研究.所以“3× 7=?”這樣的問題就被認為是屬于算術的,而“若x+y=10,而xy=21,則x與y中較大的一個取何值”就被看作是代數(shù).在比較高水平的數(shù)學里面,這個對比就不那么顯眼,原因也很簡單,因為數(shù)字單獨出現(xiàn)而不與字母相伴是極為罕見的.
然而,代數(shù)與幾何之間就有著不同的對比,而且它在比較高深的水平上要重要得多.中學里關于幾何的概念是：它是研究圖形的,例如圓、三角形、立方體和球面,還有諸如旋轉、反射、對稱等等概念.這樣,幾何的對象以及這些對象所經歷的過程,比之代數(shù)的方程,有著多得多的可視的特性.
這種對比一直持續(xù)到現(xiàn)代數(shù)學研究的前沿.數(shù)學有些部分涉及按
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