前言
符號說明
引子
第一章 科學(xué)的根源
1.1 探尋世界的成因
1.2 數(shù)字真理
1.3 柏拉圖的數(shù)學(xué)世界“真實”嗎?
1.4 三個世界與三重奧秘
1.5 善、真、美
第二章 古代定理和現(xiàn)代問題
2.1 畢達(dá)哥拉斯定理
2.2 歐幾里得公設(shè)
2.3 畢達(dá)哥拉斯定理的相似面積證明
2.4 雙曲幾何:共形圖像
2.5 雙曲幾何的其他表示
2.6 雙曲幾何的歷史淵源
2.7 與物理空間的關(guān)系
第三章 物理世界里數(shù)的種類
3.1 畢達(dá)哥拉斯災(zāi)難?
3.2 實數(shù)系
3.3 物理世界里的實數(shù)
3.4 自然數(shù)需要物理世界嗎?
3.5 物理世界里的離散數(shù)
第四章 奇幻的復(fù)數(shù)
4.1 魔數(shù)“i”
4.2 用復(fù)數(shù)解方程
4.3 冪級數(shù)的收斂
4.4 韋塞爾復(fù)平面
4.5 如何構(gòu)造曼德布羅特集
第五章 對數(shù)、冪和根的幾何學(xué)
5.1 復(fù)代數(shù)幾何
5.2 復(fù)對數(shù)概念
5.3 多值性,自然對數(shù)
5.4 復(fù)數(shù)冪
5.5 與現(xiàn)代粒子物理學(xué)的某些關(guān)聯(lián)
第六章 實數(shù)微積分
6.1 如何構(gòu)造實函數(shù)?
6.2 函數(shù)的斜率
6.3 高階導(dǎo)數(shù);C光滑函數(shù)
6.4 “歐拉的”函數(shù)概念
6.5 微分法則
6.6 積分
第七章 復(fù)數(shù)微積分
7.1 復(fù)光滑,全純函數(shù)
7.2 周線積分
7.3 復(fù)光滑冪級數(shù)
7.4 解析延拓
第八章 黎曼曲面和復(fù)映射
8.1 黎曼曲面概念
8.2 共形映射
8.3 黎曼球面
8.4 黎曼映射定理
第九章 傅里葉分解和超函數(shù)
9.1 傅里葉級數(shù)
9.2 圓上的函數(shù)
9.3 黎曼球面上的頻率部分
9.4 傅里葉變換
9.5 傅里葉變換的頻率剖分
9.6 哪種函數(shù)是適當(dāng)?shù)模?/span>
9.7 超函數(shù)
第十章 曲面
10.1 復(fù)維和實維
10.2 光滑,偏導(dǎo)數(shù)
10.3 矢量場與1形式
10.4 分量,標(biāo)題積
10.5 柯西-黎曼方程
第十一章 超復(fù)數(shù)
11.1 四元數(shù)代數(shù)
11.2 四元數(shù)的物理角色
11.3 四元數(shù)幾何
11.4 轉(zhuǎn)動如何疊加
11.5 克利福德工數(shù)
11.6 格拉斯曼代數(shù)
第十二章 n維流形
12.1 為什么要研究高維流形?
12.2 流形與坐標(biāo)拼塊
12.3 標(biāo)題、矢量和余矢量
12.4 格拉斯曼積
12.5 形式的積分
12.6 外導(dǎo)數(shù)
12.7 體積元,求和規(guī)則
12.8 張量:抽象指標(biāo)記法和圖示記法
12.9 復(fù)流形
第十三章 對稱群
13.1 變換群
13.2 子群和單群
13.3 線性變換和矩陣
13.4 行列式和跡
13.5 本征值與本征矢量
13.6 表示理論與李代數(shù)
13.7 張量表示空間:可約性
13.8 正交群
13.9 酉群
13.10 辛群
第十四章 流形上的微積分
14.1 流形上的微分
14.2 平行移動
14.3 協(xié)變導(dǎo)數(shù)
14.4 曲率和撓率
14.5 測地線、平行四邊形和曲率
14.6 李導(dǎo)數(shù)
14.7 度規(guī)能為你做什么
14.8 辛流形
15 纖維叢與規(guī)范聯(lián)絡(luò)
15.1 纖維叢的物理背景
15.2 叢的數(shù)學(xué)概念
15.3 叢的截面
15.4 克利福德叢
15.5 復(fù)矢量叢、(余)切叢
15.6 射影空間
15.7 叢聯(lián)絡(luò)的非平凡性
15.8 叢曲率
16 無限的階梯
16.1 有限域
16.2 物理上需要的是有限還是無限幾何?
16.3 無限的不同大小
16.4 康托爾對角線法
16.5 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的難題
16.6 圖靈機與哥德爾定理
16.7 物理學(xué)中無限的大小
17 時空
17.1 亞里士多德物理學(xué)里的時空
17.2 伽利略相對性原理下的時空
17.3 時空的牛頓動力學(xué)
17.4 等效原理
17.5 嘉當(dāng)?shù)摹芭nD時空”
17.6 確定不變的有限光速
17.7 光錐
17.8 放棄絕對時間
17.9 愛因斯坦廣義相對論的時空
18 閔可夫斯基幾何
18.1 歐幾里得型與閔可夫斯基型四維空間
18.2 閔可夫斯基空間的對稱群
18.3 洛倫茲正交性;“時鐘悖論”
18.4 閔可夫斯基空間的雙曲幾何
18.5 作為黎曼球面的天球
18.6 牛頓能量和(角)動量
18.7 相對論性能量和(角)動量
19 麥克斯韋和愛因斯坦經(jīng)典場
19.1 背離牛頓動力學(xué)的演化
19.2 麥克斯韋電磁理論
19.3 麥克斯韋理論中的守恒律與通量定律
19.4 作為規(guī)范曲率的麥克斯韋場
19.5 能量動量張量
19.6 愛因斯坦場方程
19.7 進(jìn)一步的問題:宇宙常數(shù);外爾張量
19.8 引力場能量
20 拉格朗日量與哈密頓量
20.1 神奇的拉格朗日形式體系
20.2 更為對稱的哈密頓圖像
20.3 小振動
20.4 辛幾何的哈密頓動力學(xué)
20.5 場的拉格朗日處理
20.6 如何從拉格朗日量導(dǎo)出現(xiàn)代理論
21 量子粒子
21.1 非對易變量
21.2 量子哈密頓量
21.3 薛定諤方程
21.4 量子理論的實驗背景
21.5 理解波粒二象性
21.6 什么是量子“實在”?
21.7 波函數(shù)的整體性質(zhì)
21.8 奇怪的“量子跳變”
21.9 波函數(shù)的概率分布
21.10 位置態(tài)
21.11 動量空間描述
22 量子代數(shù)、幾何和自旋
22.1 量子步驟U和R
22.2 U的線性性以及它給R帶來的問題
22.3 幺正結(jié)構(gòu)、希爾伯特空間和狄拉克算符
22.4 幺正演化:薛定諤繪景與海森伯繪景
22.5 量子“可觀察量”
22.6 YES / NO測量;投影算符
22.7 類光測量;螺旋性
22.8 自旋與旋量
22.9 二態(tài)系統(tǒng)的黎曼球面
22.10 高自旋:馬約拉納繪景
22.11 球諧函數(shù)
22.12 相對論性量子角動量
22.13 一般的孤立量子客體
23 糾纏的量子世界
23.1 多粒子系統(tǒng)的量子力學(xué)
23.2 巨大的多粒子系統(tǒng)態(tài)空間
23.3 量子糾纏:貝爾不等式
23.4 玻姆型EPR實驗
23.5 哈迪的EPR事例:幾乎與概率無關(guān)
23.6 量子糾纏的兩個謎團(tuán)
23.7 玻色子與費米子
23.8玻色子與費米子的量子態(tài)
23.9 量子隱形傳態(tài)
23.10 量子糾纏
24 狄拉克電子與反粒子
24.1 量子理論和相對論之間的張力
24.2 為什么反粒子意味著量子場?
24.3 量子力學(xué)里的能量正定性
24.4 相對論能量公式的困難
24.5 ?/?t的非不變性
24.6 波算符的克利福德-狄拉克平方根
24.7 狄拉克方程
24.8 正電子的狄拉克途徑
25 粒子物理學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型
25.1 現(xiàn)代粒子物理學(xué)的起源
25.2 電子的zigzag圖像
25.3電弱相互作用;反射不對稱性
25.4 正反共軛、宇稱和時間反演
25.5 電弱對稱群
25.6 強相互作用粒子
25.7 “色夸克”
25.8 超越標(biāo)準(zhǔn)模型?
26 量子場論
26.1 QFT在現(xiàn)代物理中的基礎(chǔ)地位
26.2 產(chǎn)生算符與湮沒算符
26.3 無窮維代數(shù)
26.4 QFT中的反粒子
26.5 備擇真空
26.6 相互作用:拉格朗日量與路徑積分
26.7 發(fā)散的路徑積分:費恩曼響應(yīng)
26.8 構(gòu)建費恩曼圖;S矩陣
26.9 重正化
26.10 拉格朗日量的費恩曼圖
26.11 費恩曼圖與真空選擇
27 大爆炸及其熱力學(xué)傳奇
28 早期宇宙的推測性理論
29 測量疑難
30 量子態(tài)收縮中的引力角色
31 超對稱、超維和弦
引子
Am-tep,皇家首席工藝師,一位技巧非凡的藝術(shù)家。這天晚上,在完成了一項極具創(chuàng)造力的工作后,他疲倦地躺在工作間的長凳上睡著了;蛟S因為潛伏在四周的某種難以言傳的緊張感,這一夜他睡得并不安寧,連他自己也不能確定是否真的入睡了;秀敝g,白晝似乎突然降臨了。但屋外敲更的聲音卻分明提醒著他現(xiàn)在仍是夜晚。
他猛然站了起來,驚訝地發(fā)現(xiàn)晨曦竟然出現(xiàn)在北方的天邊。的確,透過寬闊的窗戶向北方洋面上遠(yuǎn)遠(yuǎn)望去,那里正閃耀著令人惶惶不安的赤紅的光芒。Am-tep連忙走到窗前舉目凝望,頓時被眼前的景象驚呆了。真難以置信,太陽從未曾從北方升起過呀!短暫的心慌意亂之后,他終于意識到,出現(xiàn)在北方天空中的并不是熟悉的太陽,而是一條熾熱的赤紅光柱從海平面升起直插云霄。
就在他久久佇立之時,光柱的頂端漸漸結(jié)成了一塊濃黑的云團(tuán),形如一個巨大的傘蓋,而下方的傘把則噴發(fā)出熊熊的光焰,景象極為詭異。傘蓋不停向外伸展并逐漸變黑,仿佛一個剛從地底鉆出來的魔鬼。夜空中原本星光朗朗,但現(xiàn)在眾星都被這個來自地獄仍在不斷生長的怪物一一吞噬了。
雖然內(nèi)心極度恐懼,Am-tep仍被眼前景象的完美對稱和令人敬畏的美感驚呆了。之后,這個恐怖的云團(tuán)開始被風(fēng)吹得向東偏移了幾分。這可能使Am-tep稍覺欣慰,因為這個可怕的魔咒看來暫時被打破了。然而,恐懼再次襲來,他感到腳下的大地起了一陣從未體驗過的晃動,而且伴隨著一陣極不熟悉的不祥的轟隆聲。他不明白到底是什么原因?qū)е铝诉@樣一場震怒。在此之前,他還未曾目睹過如此劇烈的天神之怒。
他馬上想到了自己剛剛完成的那個用于祭祀的杯子。當(dāng)時他就對杯子的設(shè)計方案表示過疑慮,而此刻他不禁為之深深自責(zé)。難道是因為牛神形象還不夠嚇人,為此觸怒了牛神?不過,他很快就意識到了這個想法的荒誕不經(jīng)。如此微不足道的事情尚不足以引發(fā)他所目睹的這場雷霆之怒,況且這也并非針對他個人而來。他感到,大神殿肯定會有麻煩。祭司(兼國王)應(yīng)該馬上向這位魔鬼般的天神禱告,應(yīng)該馬上奉上祭品。傳統(tǒng)的水果甚至動物的后代定不足以平息這樣強烈的憤怒。祭奉之物必須是活人。
思緒未定之間,他突然驚呼一聲,接著就被一股伴隨著強風(fēng)的氣流沖到了屋內(nèi)。巨大的聲響讓他暫時喪失了聽覺。架上那些裝飾精美的小罐被風(fēng)刮到墻上,撞得粉碎。他遠(yuǎn)遠(yuǎn)地躺在一個角落里——那里正是沖擊波將他擊倒的地方,意識開始蘇醒。他看見整個房間一片狼藉,接著便驚恐地發(fā)現(xiàn)那只他最心愛的陶罐已經(jīng)四分五裂,上面那個精心設(shè)計的圖案也已化為烏有。
Am-tep搖晃著從地上站起來,一步步挪到窗前。這一次,他戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢地準(zhǔn)備重新審視海面上的駭人場景。借著遠(yuǎn)處那個大熔爐的強光,他一眼看見一輪巨浪正向他所在的海岸襲來。它像是一個巨大的槽,前端聳立著陡峭的水墻,正快速地向岸邊推進(jìn)。Am-tep再次被震懾住了,他呆在原地,目睹這次波動排山倒海似的洶涌而來。最終,波浪抵達(dá)了海岸,海面隨即飛速后撤,暴露出大片海灘及漁船。緊接著,峭壁似的巨浪挾著摧枯拉朽般的力量撞入這片新生的海灘,漁船和附近的房舍無一幸免,轉(zhuǎn)眼化為泡影。幸運的是,盡管水墻已經(jīng)升得非常高,他自己的房子卻能安然無恙,因為它正好坐落在離海岸有相當(dāng)一段距離的高地上。
神殿也同樣幸免于難。但是,Am-tep仍為可能到來的滅頂之災(zāi)深深恐懼。他的判斷是對的,盡管連他自己都不清楚這個判斷會多么正確。他知道,用奴隸作為祭品已經(jīng)不能使那個可怕的天神平息下來。需要一些別的東西。他的思緒不由轉(zhuǎn)到了他的兒子、女兒甚至出生不久的小孫子身上?磥磉B他們也不能幸免。
情況的確如他所料。人們很快就將一個少女和另一個出身良好的年輕人帶到了山梁上的那個廟宇進(jìn)行祭祀儀式。然而,儀式尚未結(jié)束,災(zāi)難便不期而至。大地開始劇烈地?fù)u晃,廟頂坍塌了,所有祭司和祭品在剎那間都成了罹難者。他們躺在那里,作為這場在祭祀儀式中途發(fā)生的災(zāi)難的見證,將被塵封三千五百余年之久。
毀滅性的地震過后,人們?nèi)孕挠杏嗉,但世界并未因此而終結(jié)。大神殿幾乎面目全非,但Am-tep及其同胞們居住的小島上仍有不少人幸存下來。劫后余生的人們將重建家園。被毀掉的神殿將會從廢墟上重新站立起來,甚至恢復(fù)當(dāng)年的莊嚴(yán)與顯赫。然而,Am-tep已決定離開這座小島,因為他的世界已經(jīng)發(fā)生了無可挽回的改變。
在他熟悉的這個世界里,由大地女神護(hù)佑的和平、繁榮及文明曾延續(xù)了千年。精妙的藝術(shù)蔚然成風(fēng),與鄰國的貿(mào)易往來頻繁。輝煌的大神殿曾經(jīng)是一個巨大奢華的迷宮、一個自成一體的城市。在那里,繪制著動物和鮮花的壁畫美輪美奐,流水、排水裝置及下水道組成的水運系統(tǒng)高效而有序。人們幾乎從未經(jīng)歷過戰(zhàn)亂,也無需多少防護(hù)設(shè)施。但是現(xiàn)在,Am-tep覺察到,大地女神的統(tǒng)治已經(jīng)被另一個價值觀迥異的存在物顛覆了。
Am-tep的幼子,一個熟練的木匠和水手,最終修復(fù)了家里的小舟?恐@條小舟,Am-tep于幾年之后率領(lǐng)全家離開了島嶼。就在這幾年的時間里,Am-tep的孫子已經(jīng)變成了一個思路敏捷、對周圍事物充滿好奇心的男孩。整個航程耗時數(shù)天,所幸海上的天氣異乎尋常的平靜。一個清朗的夜晚,Am-tep正在向小孫子解釋天空中恒星位置的分布圖,一個奇怪的想法突然襲上心頭:在那次由惡魔制造的災(zāi)難前后,天空中的星位看來卻沒有絲毫變化。
憑著藝術(shù)家的銳利眼光,Am-tep對星圖有著相當(dāng)?shù)牧私狻KJ(rèn)為,天上的這些小燈燭也應(yīng)被那天晚上的可怖力量推離原先的位置。他的那些小罐,特別是他無比鐘愛的那一只,不就化為齏粉了嗎?另外,月亮的面容也一如從前,在布滿恒星的天宇中她仍走著一成不變的路線,至少Am-tep自己看不出有任何改變。災(zāi)后的好幾個月中,天空確曾出現(xiàn)過大的變化,比如說更黑,而且時有云團(tuán)遮掩,甚至有時候月亮、太陽也呈現(xiàn)出不尋常的顏色。但這些都已成過去,日月的運行依舊如初。同樣,天上的眾星也沒有顯示出明顯的移位。
他感到疑惑不解。既然那些地位遠(yuǎn)高于惡魔的諸神對這場災(zāi)難如此漠不關(guān)心,那么控制魔鬼的神秘力量為什么會被島上這些微不足道的人類的愚蠢祭祀和祭品觸怒呢?他為自己腦海曾經(jīng)閃過的可笑念頭深感羞愧,當(dāng)時他還以為僅憑那些罐子上的花紋就能招來魔鬼呢。
他一直被“為什么”這一問題深深困擾?刂七@個世界運行的背后的力量是什么?為什么有時候這些力量會以某些看來不可思議的方式突然爆發(fā)出來?他和小孫子一起討論這些問題,但是沒有得到任何答案。
......一個世紀(jì)過去了,然后是一千年,答案仍無處可尋......
Amphos,這個終生居住在祖輩們棲息的同一小鎮(zhèn)上的手藝人,一直以制作裝飾精美的手鏈、耳環(huán)、慶典用杯具以及其它精細(xì)手工藝品謀生。這些活計是他的家族延續(xù)了近40代的傳統(tǒng),自一千一百年之前的Am-tep開始便不間斷地一直傳到Amphos。
代代相傳的不僅有家族的手藝,當(dāng)初困擾Am-tep的那些疑問如今也深深困擾著Amphos。關(guān)于那次災(zāi)難如何摧毀了一個祥和的文明世界的故事,以及Am-tep對于那次災(zāi)難的見解,同樣也傳到了Amphos這一代。按Amphos的理解,天上眾神有著崇高的地位,他們不受這一可怕事件的影響。然而,對于居住在城市里、用活人祭祀而且宗教儀式并不怎么盛大的渺小的人類來說,那次事件卻具有災(zāi)難性的后果。于是,通過比較他得出結(jié)論,那次災(zāi)難必定是某種與人類自身活動無關(guān)的巨大力量所導(dǎo)致的。但自Am-tep始,這股力量的本質(zhì)從未能被人們認(rèn)識。
Amphos曾研究過植物、昆蟲和其它小動物以及巖石晶體的結(jié)構(gòu)。他那雙敏銳的眼睛在裝飾設(shè)計上派上過大用場。他對農(nóng)業(yè)感興趣,被小麥和其它谷物的發(fā)育生長深深吸引。但所有這些并不能回答“為什么”的問題,對此他從未滿意過。他深信,在自然界的各種規(guī)則圖式背后一定深藏著某種原因,只不過他手中尚未掌握揭開答案的工具。
一天晚上,夜空清晰可見。Amphos仰望蒼穹,竭力要從星圖中辨認(rèn)出那些化身為星座的男神和女神的形象。然而,即便擁有一雙藝術(shù)家的眼睛,他也很難看出多少相似性來。他不免疑惑,為何諸神不按更易懂的方式來組織眾恒星?照它們的實際布局來看,不像是有意識的設(shè)計,而更像是農(nóng)夫隨機撒種式的產(chǎn)物。意識到這一點,他立即產(chǎn)生了一個古怪的想法:與其追問恒星或其它物體布局的成因,倒不如找出事物運行中普遍存在的更深層的有序性。
Amphos的出發(fā)點是,人們并不是從種子撒播到地上形成的分布中來識別有序,而是從種子們發(fā)育成結(jié)構(gòu)巧妙且相似的植株這一奇跡般的過程中來尋找有序。我們不想徒勞地追問種子撒播到泥土中所形成布局的含義。相反的,控制每顆種子按幾乎同樣的奇妙方式生長的內(nèi)在力量卻必定意味著某種深藏的奧秘。要讓這一切成為可能,大自然的規(guī)律必須具備絕佳的精度。
由此,Amphos開始意識到,如果深層原理不具備一定的精度,則世界將毫無秩序可言。但正如我們看到的,現(xiàn)實事物的運行的確表現(xiàn)出極高的有序性。而且,我們思考這些事情的方式也必然是精確的,否則我們早就誤入歧途了。
再后來,Amphos聽人說起在陸上的另一個地方居住著一位智者,他與Amphos持有相似的信念。按這位智者的見解,人們要堅定自己的信仰,決不應(yīng)訴諸古代的教義和傳統(tǒng),而只有靠著絕對正確的推理得出精確的結(jié)論。而這種精確度本質(zhì)上只能源于數(shù)學(xué),最終可追溯到數(shù)的觀念以及這種觀念在幾何形式上的應(yīng)用。因此,是數(shù)和幾何,而不是神話和迷信,真正主宰了這個世界的運轉(zhuǎn)。
如同一千一百年前的祖輩Am-tep,Amphos也決定出海一游。他來到了克洛頓城(Croton),在那里,智者擁有571位男性以及28位女性追隨者。Amphos自己很快也被吸納進(jìn)了這個探求真理的團(tuán)體。那位偉大的智者正是畢達(dá)哥拉斯。
……