醫(yī)學(xué)圖像處理主要研究如何從醫(yī)學(xué)影像中獲取圖像的內(nèi)在規(guī)律，為臨
床醫(yī)生提供更清晰、更精確的信息, 以利于對(duì)疾病進(jìn)行準(zhǔn)確的診斷, 從而制
定出合理有效的治療方案. 本書(shū)重點(diǎn)介紹與醫(yī)學(xué)圖像處理相關(guān)的數(shù)學(xué)模
型，特別是基于偏微分方程方法的模型，同時(shí)介紹一些有效的快速算法. 一
方面我們把傳統(tǒng)的知識(shí)講得盡可能清楚些、透徹些，把一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模
型介紹得盡可能詳細(xì)些、完整些；另一方面，還特別介紹了一些當(dāng)前最新
的進(jìn)展，這部分內(nèi)容可以讓讀者很快接觸到本領(lǐng)域的研究前沿.
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《醫(yī)學(xué)圖像處理中的數(shù)學(xué)理論與方法》適合應(yīng)用數(shù)學(xué)、圖像處理、醫(yī)學(xué)影像學(xué)等相關(guān)專業(yè)的高年級(jí)本科生、研究生及研究人員使用.
目錄
《信息與計(jì)算科學(xué)叢書(shū)》序
剮吾
第1章 預(yù)備知識(shí) 1
1.1 變分法和梯度下降流 1
1.1.1 能量泛函的變分計(jì)算 1
1.1.2 梯度下降流 2
1.1.3 形狀導(dǎo)數(shù)相關(guān)的梯度下降流 3
1.2 平面曲線理論 5
1.2.1 用參數(shù)表示的曲線 5
1.2.2 用水平集形式表示的曲線 7
1.3 概率統(tǒng)計(jì)基本知識(shí) 8
1.3.1 概率論基本概念 8
1.3.2 統(tǒng)計(jì)學(xué)基本方法 15
1.4 信息論基本知識(shí) 16
1.5 再生核希爾伯特空間 19
第2章 圖像去噪 22
2.1 引言 22
2.2 圖像去噪的TV模型 23
2.3 Bregman迭代的TV正則化模型 26
2.3.1 與迭代正則化模型相關(guān)的工作——LOT模型 26
2.3.2 迭代的TV正則化模型 27
2.3.3 與Bregman迭代的關(guān)系 28
2.4 實(shí)驗(yàn)仿真 29
2.5 階梯效應(yīng)的消除 30
2.5.1 LOT模型的一個(gè)改進(jìn) 30
2.5.2 耦合梯度保真的偏微分方程模型 36
2.6 TV模型的一個(gè)推廣——非局部正則棋型 42
2.6.1 非局部正則項(xiàng) 42
2.6.2 非局部正則化模型 43
2.7 去除乘性噪聲的幾個(gè)基本模型 46
2.7.1 RLO模型 46
2.7.2 AA模型 47
2.7.3 Log-TV模型 48
2.7.4 SO模型 49
2.8 去除乘性噪聲的非局部正則模型 50
2.8.1 模型1及算法 50
2.8.2 模型2及算法 53
2.9 小結(jié) 57
第3章 基于邊緣的圖像分割 58
3.1 引言 58
3.2 蛇模型 58
3.2.1 蛇模型 58
3.2.2 GVF snake模型 59
3.3 測(cè)地活動(dòng)輪廓模型及其推廣 63
3.3.1 測(cè)地活動(dòng)輪廓模型 63
3.3.2 GAC模型的推廣 65
3.4 水平集方法 66
3.4.1 水平集方法的基本概念 66
3.4.2 嵌入函數(shù)的選用和初始化 68
3.4.3 自然延拓和重新初始化 68
3.4.4 水平集方法的優(yōu)點(diǎn) 69
3.5 變分水平集方法 69
3.5.1 變分水平集方法的基本概念 69
3.5.2 改進(jìn)的變分水平集方法 70
3.6 具有先驗(yàn)形狀信息的基于邊緣的圖像分割模型 72
3.7 小結(jié) 74
第4章 基于區(qū)域的圖像分割：一般方法 76
4.1 Mumford-Shah模型 76
4.2 Chan-Vese模型 78
4.2.1 兩相C-V模型 78
4.2.2 多相C-V模型 81
4.3 一個(gè)既基于邊緣又基于區(qū)域的圖像分割模型 83
4.4 小結(jié) 87
第5章 基于區(qū)域的圖像分割：統(tǒng)計(jì)與信息論的方法 88
5.1 帶參數(shù)概率密度估計(jì)的活動(dòng)輪廓模型 88
5.1.1 MLE方法 89
5.1.2 MAP方法 90
5.2 非參數(shù)概率密度估計(jì)的活動(dòng)輪廓模型：統(tǒng)計(jì)的方法 94
5.2.1 非參數(shù)概率密度估計(jì)的方法 94
5.2.2 非參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型 96
5.3 非參數(shù)概率密度估計(jì)的活動(dòng)輪廓模型：信息論的方法 100
5.4 注記 103
5.5 小結(jié) 104
第6章 圖像配準(zhǔn)：基本概念 106
6.1 什么是圖像配準(zhǔn) 106
6.2 配準(zhǔn)的定義及分類 107
6.3 配準(zhǔn)的基本方式 108
6.3.1 剛性變換 109
6.3.2 仿射變換 111
6.3.3 可形變變換 112
6.4 幾種常見(jiàn)的醫(yī)學(xué)圖像模態(tài) 113
6.5 小結(jié) 116
第7章 可形變的圖像配準(zhǔn) 117
7.1 單模態(tài)下的配準(zhǔn)模型 117
7.2 逆一致可形變的圖像配準(zhǔn) 119
7.3 多模態(tài)下的配準(zhǔn)模型：信息論方法 122
7.4 多模態(tài)下的配準(zhǔn)模型：統(tǒng)計(jì)方法 125
7.4.1 基于瑞利度量的配準(zhǔn)模型 125
7.4.2 基于瑞利度量模型的計(jì)算 126
7.4.3 統(tǒng)計(jì)相關(guān)性的一點(diǎn)補(bǔ)充 128
7.5 小結(jié) 129
第8章 核磁共振圖像重構(gòu) 131
8.1 核磁共振圖像的數(shù)學(xué)模型 131
8.2 壓縮傳感 132
8.2.1 信號(hào)的稀疏表示 133
8.2.2 壓縮傳感理論 133
8.3 基于小波變換基的MR圖像重構(gòu) 134
8.3.1 基于小波基的重構(gòu)模型 134
8.3.2 快速算法 135
8.4 基于冗余字典的MR圖像重構(gòu) 139
8.4.1 冗余字典 139
8.4.2 基于冗余字典的重構(gòu)模型 140
8.4.3 快速算法 141
8.5 小結(jié) 145
第9章 擴(kuò)散核磁共振成像 146
9.1 引言 146
9.2 DMRI簡(jiǎn)介及基本概念 l47
9.3 DTI 150
9.3.1 DTI的主要原理 150
9.3.2 計(jì)算簡(jiǎn)介及張量估計(jì) 151
9.3.3 基于Navier-Stokes流體力學(xué)的DTI跟蹤 157
9.4 HARDI 157
9.4.1 擴(kuò)散ODF的分析重建 158
9.4.2 高階張量場(chǎng)上的Finsler幾何及其在HARDI上的應(yīng)用 159
9.5 小結(jié) 161
參考文獻(xiàn) 163
索引 170
《信息與計(jì)算科學(xué)叢書(shū)》已出版書(shū)目 172
第1 章預(yù)備知識(shí)
本章主要介紹本書(shū)中要用到的一些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法, 包括變分法和梯度下降
流、平面曲線理論、概率統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)、信息論基本知識(shí)以及再生核希爾伯特空間
的相關(guān)知識(shí). 其中變分法和梯度下降流是貫穿整本書(shū)的方法基礎(chǔ), 平面曲線理論是
學(xué)習(xí)圖像分割的基礎(chǔ), 概率統(tǒng)計(jì)、信息論基本知識(shí)與再生核希爾伯特空間在圖像分
割與配準(zhǔn)模型建立和計(jì)算中起到重要的作用.
1.1 變分法和梯度下降流
本節(jié)主要介紹三部分內(nèi)容：能量泛函的變分計(jì)算、能量泛函的一階變分所對(duì)應(yīng)
的梯度下降流和形狀導(dǎo)數(shù)相關(guān)的梯度下降流.
1.1.1 能量泛函的變分計(jì)算
數(shù). 加托導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中方向?qū)?shù)的概念的推廣.
定義1.1 假設(shè)X 是一個(gè)巴拿赫空間, E : X ! R, E 在u 點(diǎn)沿著v 方向的
加托導(dǎo)數(shù)定義為
E0(u; v) = lim
t!0
E(u + tv) ? E(u)
t
; (1.1.9)
如果對(duì)于任意的v 2 X, 此極限存在, 則稱E 在u 2 X 有加托導(dǎo)數(shù).
若E 有加托導(dǎo)數(shù), 且極小化問(wèn)題min
v2X
E(v) 有解u, 那么
E0(u) = 0:
反之, 若E 是凸的, 那么E0(u) = 0 的解u 是極小化問(wèn)題的解. 稱
E0(u) = 0 或
E
u
= 0 (1.1.10)
為歐拉{拉格朗日(Euler-LAgrAnge, E-L) 方程.
1.1.2 梯度下降流
變分問(wèn)題
min
u2X
E(u) (1.1.11)
所對(duì)應(yīng)的梯度下降流為
@u
@t
= ?
E
u
; (1.1.12)
其中?
E
u
是能量泛函E 下降/減小的方向.
這是由于一方面,
E0(u; v) = lim
t!0
E(u + tv) ? E(u)
t
= ?
E
u
vdx: (1.1.13)
當(dāng)E0(u; v) < 0 時(shí), 能量是減小的.
另一方面, 又注意到式(1.1.7) 中v 是任意的, 不妨設(shè)v = @u
@t
, 此時(shí)若
@u
@t
=
?
E
u
, 則E0(u; v) < 0, 且E 下降得最快.
下面介紹另外一種計(jì)算能量泛函E 所對(duì)應(yīng)的梯度下降流的方法.
引入時(shí)間變量t, 則能量泛函是關(guān)于時(shí)間變量的函數(shù), 即
E(u(x; t)) = ?
f(x; u(x; t);ru(x; t))dx; (1.1.14)
下面將E(u(x; t)) 簡(jiǎn)記為E(t).
一般來(lái)說(shuō), 需要求能量泛函E 的極小化問(wèn)題, 那么能量泛函必須隨著時(shí)間t 的
增加而減小, 即需要
@E
@t
< 0, 而
@E
@t
= ?
?
@f
@u
ut + @f
@?
(ru)t
?
dx
= ?
?
@f
@u
ut ?
X
i
@
@xi
3@f
@?
?
ut
?
dx + @?
@f
@?
utds
= ?
?
@f
@u
?
X
i
@
@xi
3@f
@?
??
utdx: (1.1.15)
式(1.1.15) 中第二個(gè)等式用到了Green 公式, 其中? 表示? 的邊界@? 的外法向
量, 第三個(gè)等式用到了NeumAnn 邊界條件
@f
@?
= 0: (1.1.16)
為了使
@E
@t
< 0, 選取
@u
@t
= ?
?
@f
@u
?
X
i
@
@xi
3@f
@?
??
: (1.1.17)
這與先求E-L 方程, 再通過(guò)梯度下降的方法求能量泛函的梯度下降流所得的結(jié)果
是一致的. 這種方法也常常用來(lái)求能量泛函極值問(wèn)題的梯度下降流.
1.1.3 形狀導(dǎo)數(shù)相關(guān)的梯度下降流
本節(jié)主要介紹對(duì)于下列形式的能量泛函, 如何求它的極小化問(wèn)題的解, 即如何
求曲線c 的梯度下降流
E(c) = R(c)
f(?(c))dx; (1.1.18)
其中?(c) = R(c)
g(x; ^x)d^x, g 是不依賴于c 的函數(shù), R 是曲線c 的內(nèi)部區(qū)域. 注意
到此能量泛函的被積函數(shù)f 仍依賴于曲線c 或曲線c 的內(nèi)部區(qū)域R, 稱這樣的能
量泛函為嵌套的區(qū)域積分.
引入時(shí)間變量t, 將能量泛函(1.1.18) 重新寫為
E(c(t)) = R(c(t))
f(?(x; t))dx; (1.1.19)
其中?(x; t) = R(c(t))
g(x; ^x)d^x.
首先, 我們先看如下形式的區(qū)域積分：
E(c(t)) = R(c(t))
f(x)dx; (1.1.20)
其中被積函數(shù)f(x) 不依賴于曲線c 和時(shí)間t.
對(duì)E 關(guān)于時(shí)間t 求導(dǎo), 并將區(qū)域積分轉(zhuǎn)化為曲線積分得
dE(c(t))
dt
= c(t)
hct; f(x)Noutids; (1.1.21)
其中Nout 表示曲線c 的單位外法向量. 因此, 曲線c 的梯度下降流為
@c(t)
@t
= ?f(x)Nout = f(x)Nin; (1.1.22)
其中Nin 表示曲線c 的單位內(nèi)法向量.
然后, 我們來(lái)看能量泛函(1.1.19). 令'(x; t) = f(?(x; t)), 則能量泛函(1.1.19)
可寫成
E(c(t)) = R(c(t))
'(x; t)dx: (1.1.23)
那么
@E(c(t))
@t
= R(c(t))
't(x; t)dx + c(t)
hct; '(x; t)Noutids; (1.1.24)
其中't(x; t) = @f(?(x; t))
@t
= f0(?(x; t))?t(x; t).
由于?(x; t) 具有能量(1.1.20) 的形式, 其被積函數(shù)不依賴于曲線c, 則
?t(x; t) = c(t)
hct; g(x; c)Noutids: (1.1.25)
將(1.1.25) 代入(1.1.24) 得
@E(c(t))
@t
= R(c(t))
f0(?(x; t)) c(t)
hct; g(x; c)Noutidsdx + c(t)
hct; f(?(x; t))Noutids
= R(c(t)) c(t)
hct; f0(?(x; t))g(x; c)Noutidsdx + c(t)
hct; f(?(x; t))Noutids
= c(t)
D
ct;
h
f(?(x; t)) + R(c(t))
f0(?(x; t))g(x; c)dx
i
Nout
E
ds: (1.1.26)
因此, 曲線c 的梯度下降流為
@c(t)
@t
=?
h
f(?(c)) + R(c(t))
f0(?(x; t))g(x; c)dx
i
Nout
=
h
f(?(c)) + R(c(t))
f0(?(x; t))g(x; c)dx
i
Nin: (1.1.27)
1.2 平面曲線理論
本節(jié)主要介紹平面曲線理論知識(shí), 包括用參數(shù)表示的曲線和用水平集表示的曲
線兩部分內(nèi)容. 它們是學(xué)習(xí)圖像分割模型的基礎(chǔ).
1.2.1 用參數(shù)表示的曲線
設(shè)c(p) = (x(p); y(p)) 是R2 上一條正則有向曲線, 其中p 2 [0; 1] 為曲線的參
數(shù). 記曲線在p 點(diǎn)處的切向量為
T(p) , c0(p) = (x0(p); y0(p)); (1.2.1)
其單位切向量為
T(p) = c0(p)
jc0(p)j
; (1.2.2)
相應(yīng)的內(nèi)法向量為
N(p) = (?y0(p); x0(p)); (1.2.3)
其單位內(nèi)法向量為
N(p) =
(?y0(p); x0(p))
jc0(p)j
: (1.2.4)
從起點(diǎn)p0 = 0 到p 點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的距離, 即曲線的弧長(zhǎng), 為
s(p) = p
0
jc0(r)jdr: (1.2.5)
從而有
ds
dp
= jc0(p)j: (1.2.6)
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