第1 章流體基本概念
　　1.1 概況
　　一般而言，計算流體力學屬于流體力學的一個分支領(lǐng)域，也習慣將其稱為計算流體動力學(computational.uiddynamics)，因其所涉及的主要是流體運動問題的數(shù)值求解。計算流體力學實質(zhì)上是在流體力學的基礎(chǔ)上，通過與計算技術(shù)的融合，拓寬了我們認識新的流動現(xiàn)象的深度和廣度。
　　從另一個視角，計算流體力學也屬于偏微分方程理論和數(shù)值計算的范疇，由這些嚴格的數(shù)學分析和計算技術(shù)作為基礎(chǔ)，才有可能順利地開展流動問題的求解，在這個過程中，自然也離不開如偏微分方程的理論分析、數(shù)值算法以及程序設(shè)計等具體內(nèi)容。
　　因此，首先從了解流體的物理背景開始，理解并熟悉流體運動的描述方法，熟練掌握流動控制方程的推導，由此建立正確運用流動方程并靈活進行數(shù)值計算的必需基礎(chǔ)。
　　1.2 流體屬性
　　熱力學上，通常將物質(zhì)分為固體、液體和氣體三態(tài)，很容易通過觀察由其形態(tài)判別和相互區(qū)分。在流體力學中，只有兩類物質(zhì)，即流體和非流體(固體)。固體能夠承受外部施加的剪切力并保持靜止，而流體是不能的。但這也不是完全清晰的區(qū)分，例如，在室溫下的一桶瀝青，看起來硬得像石頭，在上面放一塊磚頭，也絲毫不受影響。但是，若是把磚頭一直放著，則過幾天沉到桶底，再要取出來就困難了。因此，瀝青通常劃歸流體。再看金屬鋁，在室溫下，鋁是固態(tài)的，可以做成任何形狀，并且只要不超過材料極限它可以承受任意的外加剪應力。然而，一旦加熱以后，鋁就呈現(xiàn)液態(tài)，在外加剪應力作用下鋁液作連續(xù)的變形。但是，也不能將高溫作為區(qū)分金屬流體特征的標準，因為金屬鉛在室溫下就呈現(xiàn)出類似的黏性蠕動流特征。同時，我們還可以看到，水銀也是一種流體，而且在常見的物質(zhì)里面，相對于其密度而言，其黏度(運動黏度)是最小的。
　　這里所探討的是公認為流體的介質(zhì)，例如，所有的氣體都可以認為是真正的流體，還包括一些常見液體，如水、油、酒精等。
　　在真正流體的范疇內(nèi)，我們來定義和解釋它們的屬性。大致有如下四類：
　　(1)運動屬性(線速度、角速度、渦、加速度以及應變率)，嚴格地講，這些是流場屬性，而非流體屬性；


　　(2)傳輸屬性(黏度、導熱系數(shù)、質(zhì)量擴散度)；


　　(3)熱力學屬性(壓力、密度、溫度、焓、熵、比熱容、普朗特數(shù)、體積模量、熱膨脹系數(shù))；




　　(4)其他各種屬性(表面張力、汽化壓力、渦擴散系數(shù)、適應系數(shù))。
　　第四項中的某些不屬于真正的屬性，但取決于流動條件、表面條件以及流體中的所含雜質(zhì)。使用第三項中的屬性也需要注意場合。嚴格意義上講，處于運動中的黏性流體并不處于熱平衡狀態(tài)，這些屬性并不適用。所幸的是，其偏離平衡態(tài)并不遠，除了流體的弛豫時間很短且分子數(shù)較少，如稀薄氣體超音速流。其原理可以這樣理解，例如，從統(tǒng)計意義上，常壓下的氣體也是非常濃的，以1μm邊長立方體內(nèi)氣體為例，其中大約含有108 個分子，對于這一體積的氣體，當狀態(tài)發(fā)生變化，甚至在發(fā)生激波變化時，它也能迅速恢復平衡態(tài)。這是因為如此多的分子在短距離內(nèi)將發(fā)生大量的分子碰撞，碰撞后很快又恢復平衡，而液體更濃，所以完全可以假設(shè)它們是處于熱平衡態(tài)的。
　　1.2.1 運動屬性
　　對于流體，首先涉及的是流體的速度。而固體力學中，首先涉及的是質(zhì)點位移，這是因為固體中，質(zhì)點間以相對剛性的方式相聯(lián)系。
　　由剛體動力學考慮火箭運動軌跡，只需求解出任意三個不共線的質(zhì)點運動軌跡就可以了，因為任意其他質(zhì)點的運動軌跡都可以由已知三點軌跡推算而得出。這種追溯單個質(zhì)點軌跡的方法稱為拉格朗日運動描述，在固體力學中非常有用。
　　但是，考察火箭噴管排出的流體流動時，顯然不可能追溯上百萬的質(zhì)點軌跡。這里考察方式就很重要了，地面上的觀察者看到的是復雜的非定常流，而與火箭一同飛行的觀察者看到的是幾乎非常規(guī)則的定常流動。因此，在流體力學中采用如下措施通常是非常有用的：①選擇最便利的坐標系，使得觀察時的流動是定常的；
　　② 只研究作為位置和時間函數(shù)的速度場，而不追溯任何質(zhì)點軌跡。這種描述流動在每個固定點隨時間變化的函數(shù)方式，稱為歐拉方法。歐拉速度向量場可定義為如下直角坐標形式：
　　V(r，t)=V(x，y，z，t)=iu(x，y，z，t)+jv(x，y，z，t)+kw(x，y，z，t)(1-1)
　　求解三個隨(x，y，z，t)變化的標量函數(shù)u、v、w，通常是流體力學的主要任務。與固體力學采用位移分量描述不同，流體通常采用(u，v，w)三個速度分量來表征。相對而言，位移在流體中沒有太多實際用途，因此，也很少給出位移的變量描述。
　　歐拉方法，或者速度場無疑是描述流體力學問題的合適選擇，但又存在一個矛盾，即三個基本物理守恒定律：質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒，它們都以質(zhì)點為研究對象，即它們是拉格朗日屬性的。這三個定律都與一個質(zhì)點的某種屬性隨時間的變化率有關(guān)。令Q代表流體的任意屬性，而dx、dy、dz、dt分別代表這四個變量的任意變化，這樣，Q的總微元變化如下：
　　dQ =
　　Q
　　x
　　dx +
　　Q
　　y
　　dy +
　　Q
　　z
　　dz +
　　Q
　　t
　　dt (1-2)
　　因為我們追蹤一個質(zhì)點，那么空間增量如下：
　　dx=udt，dy=vdt，dz=wdt(1-3)代入式(1-2)，可以得到一個質(zhì)點的Q屬性的時間導數(shù)為
　　Q
　　+ u
　　Q
　　x
　　+ v
　　Q
　　y
　　+ w
　　Q
　　z
　　(1-4)dQ
　　=
　　dt
　　t
　　其中，dQ/dt的名稱可以是物質(zhì)導數(shù)、質(zhì)點導數(shù)，名字不同，意義都是要讓讀者產(chǎn)生一種感覺，即我們是追蹤一個質(zhì)點的。為加強這種感覺，通常給它一個特殊符號DQ/Dt，主要是便于記憶，而無其他意義。式(1-4)右端后三項稱為對流導數(shù)，因
　　Q
　　為，當速度為0，或者Q沒有空間變化時，這三項就消失了。
　　項稱為局部導數(shù)。
　　t
　　注意到，式(1-4)可以寫為
　　Q
　　DQ +(V · .) Q (1-5)
　　=
　　Dt
　　t
　　其中，. 為梯度算子，展開如下：
　　i
　　x
　　y
　　+ k
　　z
　　(1-6)+ j
　　1.2.2 質(zhì)點加速度
　　如果Q就是V本身，可以得到第一個運動屬性，質(zhì)點的加速度矢量為
　　V
　　DV DuDvDw+(V · .) V (1-7)= i + j + k=
　　t
　　Dt Dt Dt Dt
　　u
　　t
　　、v
　　t
　　、w
　　注意到，該加速度與u、v、w，以及12個標量導數(shù)有關(guān)，如
　　空間導數(shù)，形如
　　ui
　　xj
　　，這里，i、j代表三個坐標軸方向。
　　，還有
　　t
　　D/Dt 中的對流導數(shù)項不幸地遇到數(shù)學上的困難，因為這些是關(guān)于速度變量的非線性項。于是，存在有限對流加速度的黏性流動方程在數(shù)學上是非線性的，并且從解析的角度也令人頭疼，例如，即使是穩(wěn)態(tài)層流，也存在非唯一解、疊加原理不適用等問題。需要注意的是，這些非線性項是加速度，不是黏性應力。具有諷刺意味的是，黏性流動的主要障礙竟然是一個無黏項，而假設(shè)黏度為常數(shù)時，黏性應力本身反而是線性的。
　　假設(shè)流體無黏，即無摩擦，同時又無旋，這時，加速度項仍然存在，但情況會發(fā)生樂觀的轉(zhuǎn)變：
　　(1-8)
　　此時，
　　壓力項是線性的。
　　1.2.3 其他運動屬性


　　寫
　　。我們來
　　y = vy
　　圖1-1流體微團的變形
　　分析這里所發(fā)生的變化。首先，由于平移運動，四邊形的角點由B點移到B. 點。其次，由于旋轉(zhuǎn)，對角線從BD變到B.D.。再次，由于膨脹，微元體變得稍微大一點。最后，由于剪應變，正方形變成菱形。
　　下面從定量角度進一步討論。這里為幫助理解，我們給出一個簡單的函數(shù)變化率，具體如下：
　　ui(x+Δx). ui(x)=
　　ui
　　x
　　Δx =
　　ui
　　x
　　dx (1-9)
　　其中，ui表示u的任一坐標分量。
　　下面進入正題，平移由B點的位移量udt和vdt來表示，平移速率分別為u和v。三維情形，分別為u、v和w。
　　對角線BD的旋轉(zhuǎn)率為dΩz=φ+dα. 45.。注意到，2φ+dα+dβ=90.，代入前式消去φ，可得
　　1
　　dΩz=(dα. dβ)(1-10)
　　2
　　其中，下標z表示旋轉(zhuǎn)軸平行于z軸。還可以推斷旋轉(zhuǎn)是逆時針的，因為從圖中觀察dα略大于dβ。下面給出dα和dβ的具體計算：
　　. .
　　. . .
　　.. .
　　. . .
　　.
　　v
　　x
　　dxdt
　　dx +
　　u
　　x
　　dxdt
　　v
　　x
　　dt
　　v
　　v
　　dα = arctan dt dt= arctan ≈ arctan=
　　1+
　　u
　　x
　　x
　　x
　　dt (1-11)
　　. .
　　. . .
　　. . .
　　. . .
　　.
　　u
　　y
　　dydt
　　dy +
　　v
　　y
　　dydt
　　u
　　y
　　dt
　　u
　　u
　　dβ = arctan dt dt= arctan ≈ arctan=
　　1+
　　v
　　y
　　y
　　y
　　dt
　　(1-12)
　　將式(1-11)和式(1-12)代入式(1-10)，可得
　　v
　　u
　　1dΩz/dt=(1-13)
　　x .
　　y
　　2
　　類似地，沿x和y軸的旋轉(zhuǎn)率為
　　1
　　v
　　1
　　u
　　w
　　w
　　dΩx/dt=dΩy/dt=(1-14)
　　2 y . zz . x
　　這剛好是角速度向量dΩ/dt的三個分量。因為系數(shù)12 容易令人費解，習慣上常用一個2倍于它的量ω來表示，如下：dΩ
　　ω = 2 (1-15)
　　dt
　　，
　　2
　　這個新的量ω，在流體力學中是有重要物理意義的，稱為流體的渦量。將(1-13)和式(1-14)代入式(1-15)，這樣，就將速度向量與渦量構(gòu)建了關(guān)聯(lián)：ω=rotV=. × V(1-16)因此，渦量的散度為0，即divω=. · ω=div(rotV)=0(1-17)因此，純數(shù)學角度的渦向量代表無源場。如果ω=0，那么流動就是無旋的。下面討論剪應變，通常將它定義為初始兩垂線之間夾角的平均增量，如圖1-1所示，AB線和BC線為初始兩垂線，那么平均角度增量，即剪應變率為
　　1.dαdβ1
　　v
　　u
　　(1-18)+ +
　　εxy=
　　=
　　x
　　y
　　2dt dt 2
　　類似地，另兩個剪應變率分量分別為
　　εzx
　　=
　　w
　　+
　　v
　　z
　　u
　　w
　　1 1 (1-19)+
　　εyz
　　=
　　y
　　z
　　x
　　2 2
　　同樣，類似固體力學原理，剪應變率是對稱的，即εij=εji。第四個也是最后一個微團運動為膨脹或者拉伸應變。同樣參考圖1-1，沿x方向的拉伸定義為微團水平方向邊長的增長率：
　　u
　　x
　　dxdtdx +
　　. dx
　　u
　　εxx
　　dt = dt (1-20)=
　　x
　　dx
　　同樣可得另兩個分量，這樣，所有三個分量為
　　εxx
　　=
　　u
　　x
　　，
　　εyy
　　=
　　v
　　w
　　z
　　(1-21)
　　εzz
　　=
　　，
　　y
　　將應變率(包括拉伸和剪切)集中到一個對稱二階張量，可寫為
　　εij
　　=
　　. .
　　.
　　εxxεxyεxz
　　εyxεyyεyz
　　εzxεzyεzz
　　. .
　　.
　　(1-22)
　　盡管各分量大小隨所取坐標軸x、y、z而不同，應變率張量與彈性體應力張量和應變率張量類似，遵循對稱張量的坐標變換原理。尤其是無論坐標軸怎么取，或
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