01算術(shù)部分
　　1.1納稅算賬本書所有詩詞的標(biāo)題，大都是著者自己加的，大部分原著文沒有標(biāo)題。
　　昨日街頭干事畢，
　　閑來稅局門前立。
　　見一客持三百布，
　　每疋必須稅二尺。
　　貼回銅錢六百文①，
　　收布一十五半疋。
　　不知每疋賣幾何，
　　只言每疋長(zhǎng)四十②。
　　——程大位《算法統(tǒng)宗》
　　【注釋】①古代1貫=1000文。②這里1疋=40尺。
　　【譯文】昨天街上辦完事，慢悠悠地走到稅務(wù)部門前停下來。看見一客商持300疋布前來納稅，按規(guī)定每疋布必須上稅2尺。稅局收去15疋半布作稅款。因多收了布，稅局補(bǔ)給他銅錢600文。已知每疋布長(zhǎng)40尺，請(qǐng)問每疋布價(jià)多少錢。
　　【解法】依題意可知
　　應(yīng)納稅：300×2=600（尺）
　　稅局實(shí)收布：15.5×40=620（尺）
　　稅局多收布：620-600=20（尺）
　　每尺布價(jià)：600÷20=30（文）
　　每疋布價(jià)：30×40=1200（文）
　　答：每疋布價(jià)1200文錢，即一貫二百文。
　　【探源】這是一首經(jīng)商納稅詩題。
　　兩漢史籍中有關(guān)納稅的資料很少。古代最早算書《算數(shù)書》（公元前2世紀(jì)）中有2題“弧出關(guān)”和“負(fù)米”反映秦或更早時(shí)候征收關(guān)稅問題；《九章算術(shù)》（公元前1世紀(jì)）中有4道題（衰分章第3題，均輸章第15，27，28題）反映漢朝向商人征收關(guān)稅的問題。資料雖少，但很寶貴。
　　這詩題不是從古算書算題改編而來的，根據(jù)可能是當(dāng)時(shí)人們經(jīng)商納稅的情況。故詩題反映了納稅或征收賦稅的實(shí)際情況。可知明代賣布稅率為5%，看來稅賦不重。
　　“算”字的起源
　　中國的“算”字有三種寫法：筭、算、祘。對(duì)這幾個(gè)字，我國辭典始祖東漢許慎在《說文解字》（成書于公元100年）里作了如下解釋：
　　“筭，長(zhǎng)六寸，計(jì)歷數(shù)者。從竹從弄，言常弄乃不誤也。”這就是說，“筭”（音算，ｓｕàｎ）字是一種六寸長(zhǎng)的竹制計(jì)算工具，古稱“算籌”（用小竹棍等制成）。這個(gè)字是由“竹”和“弄”兩字合成的，經(jīng)常擺弄它便可使計(jì)算正確無誤。
　　“算，數(shù)也。從竹從具，讀若筭�！痹S慎的意思說，“算”是計(jì)算數(shù)目的，讀法和“筭”完全相同。
　　“祘”字的出現(xiàn)比較晚，它是由兩個(gè)“示”字合成的。許慎解釋說：“示，神事也�！边@就是說，“示”字有“指示、表示、透露”等象神的顯示一樣的意思。因?yàn)樯喜俊岸�”是古文的“上”字，下部古為三豎（后來演變成一豎兩點(diǎn)的“小”字），表示日、月、星。神的顯示是從上面下來的。從鬼神的字表明，也多用示（礻）字旁。
　　顯然，古人把“祘”和計(jì)算，都與迷信糾纏在一起，與科學(xué)背道而馳，不足為訓(xùn)。
　　“算”字的象形字起源于什么時(shí)候？在甲骨文（在龜甲或獸骨上鐫刻成的文字）或金文（周朝時(shí)的文字，鑄在青銅器上的文字，又叫鐘鼎文）中從未發(fā)現(xiàn)過這個(gè)字。據(jù)當(dāng)代英國著名科學(xué)史家李約瑟（J.Needhan，1900～1995）認(rèn)為，它的出現(xiàn)年代可能在公元前3世紀(jì)。
　　圖1-1“算”的古體字
　　事實(shí)上，“算”字的最早古體字有三種寫法，見圖1-1�！八恪弊稚厦媸侵竦男蜗�，表示著竹制算具。下面為雙手捧著貝幣（殷周時(shí)用貝做貨幣）。故我國“算”字的意思就是以算具進(jìn)行記數(shù)、計(jì)算、卜卦的技術(shù)或?qū)W問。
　　在希臘，“計(jì)算”一詞的本意是“石子”、“沙盤”，原意是“沙子”。這反映了古希臘人與中國不同的是不用竹做算具，而是用石子計(jì)數(shù)或在沙盤上劃道運(yùn)算。
　　1.2魚兒有幾
　　三寸魚兒九里①溝，口尾相銜②直到頭。
　　試問魚兒多少數(shù)，請(qǐng)君對(duì)面說因由。
　　——梅瑴成③《增刪算法統(tǒng)宗》
　　【注釋】①關(guān)于里、步長(zhǎng)度的大小隨朝代不同。周代1步=8尺。秦漢至南北朝1步=6尺，1里=300步；《漢書?食貨志》載：1里=300步，
　　1步=6尺�！毒耪滤阈g(shù)》就用此，簡(jiǎn)稱秦漢制。約從隋唐改為1步=5尺，1里=360步。這是舊制以營造尺。②銜，用嘴含。③瑴，音決，jué。
　　【譯文】3寸長(zhǎng)的一群小魚兒，它們口尾相接在河里游玩，從頭到尾排成了9里長(zhǎng)。試問這群魚兒有多少條？請(qǐng)說出你推算的理由。
　　【解法】因?yàn)?里=360步（唐代以后度量衡）
　　所以9×360=3240（步）
　　因?yàn)?步=5尺=50寸
　　所以3240×50=162000（寸）
　　所以162000÷3=54000（條）
　　答：這群活潑可愛的小魚兒共有5.4萬條。
　　【探源】詩言志，歌抒情，數(shù)學(xué)詩題很迷人。這道朗朗上口的數(shù)學(xué)詩題仿佛把我們帶到了孩提時(shí)代觀賞游魚的趣景，回味之余，油然而生要探討追溯這道詩題源頭的想法。經(jīng)查，古算家是根據(jù)古算《孫子算經(jīng)》（公元4世紀(jì)）卷下第32題改編的。古代儒家把重要的經(jīng)典著作稱為“經(jīng)”，“數(shù)學(xué)”叫做“算”，所以把重要的數(shù)學(xué)著作稱為“算經(jīng)”。第32題是：“今有九里渠，三寸魚，頭頭相次。問魚得幾何？答曰：五萬四千。術(shù)曰：置九里，以三百步乘之，得二千七百步。又以六尺乘之，得一萬六千二百尺。上十之，得一十六萬二千寸。以魚三寸除之，即得�！�
　　讀者不難發(fā)現(xiàn)，這道詩題完全與《孫子算經(jīng)》第32題一樣，數(shù)據(jù)、答案一致。當(dāng)然，不同之處是術(shù)文（解法）中使用的度量衡是秦漢制，即1里=300步，1步=6尺。
　　“算術(shù)”的起源
　　算術(shù)是研究數(shù)與數(shù)集上的運(yùn)算的數(shù)學(xué)分支。算術(shù)是最古老的數(shù)學(xué)分支之一，是數(shù)學(xué)的起點(diǎn)。
　　算術(shù)的產(chǎn)生可追溯到史前時(shí)期，如美索不達(dá)米亞（今伊拉克的一部分）和古埃及等在公元前30～前20世紀(jì)就產(chǎn)生了簡(jiǎn)單的算術(shù)知識(shí)。
　　古希臘人正式提出的“算術(shù)”，實(shí)質(zhì)是數(shù)論（研究數(shù)的規(guī)律，特別是研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支），因?yàn)樗麄冊(cè)�把�?shù)分為“數(shù)目學(xué)”（即數(shù)論）和“計(jì)算術(shù)”（與今算術(shù)意義差不多）。但是，希臘人的“數(shù)目學(xué)”與哲學(xué)相關(guān)，備受哲學(xué)家器重，而“算術(shù)”（計(jì)算術(shù)）卻被另眼看待，譏為“低下技術(shù)”，備受輕視。這使得希臘算術(shù)的成就不及幾何和數(shù)論。
　　在我國，“算術(shù)”二字至遲在漢代已經(jīng)常用了，例如，《前漢書?律歷志》記載籌算中有：“其法在算術(shù)，宣于天下”。在古算書上，西漢末年（約公元前1世紀(jì)）曾有過《許商算術(shù)》和《杜忠算術(shù)》，可惜早已失傳。但正式使用、留傳至今的這一術(shù)語最早見于《九章算術(shù)》（公元前1世紀(jì)），而算術(shù)內(nèi)容更早出現(xiàn)在1983~1984年出土的《算數(shù)書》（公元前2世紀(jì)）中。我國古代“算術(shù)”指整個(gè)數(shù)學(xué)，即數(shù)學(xué)的總稱，但它與現(xiàn)代算術(shù)意義是不同的。
　　在西方，“算術(shù)”一詞的拉丁文“Arithmetica”來自希臘文“αριθμητικ η”，原意是數(shù)（ｓｈǔ）和數(shù)（ｓｈù）的技術(shù)（或?qū)W問），這就是說，西方人的“算術(shù)”指有關(guān)數(shù)的運(yùn)算方法和技巧，不包括代數(shù)、幾何等內(nèi)容，與我國泛指全部數(shù)學(xué)不同。
　　1.3蘇武流放
　　當(dāng)年蘇武①去北邊②，
　　不知去了幾周年。
　　分明記得天邊月，
　　二百三十五番圓③。
　　——程大位《算法統(tǒng)宗》
　　【注釋】①蘇武（約公元前140～前60年）是漢朝一位官員，天漢元年（公元前100年）被派往匈奴出任使者，因其他事牽連，被匈奴統(tǒng)帥單于扣留，并叫他投降，蘇武誓死不從。單于把他流放到北方海邊無人居住的地方，讓他飼養(yǎng)公羊，叫他等到公羊生了小羊以后再回來。這哪是可能的？顯然是將他終年流放。單于斷絕供應(yīng)一切糧草，蘇武只好挖掘野鼠所儲(chǔ)藏的草籽來吃。后來漢朝與匈奴和親，蘇武才從荒野被接回漢朝。由于他節(jié)操卓著，被尊稱為“祭酒”（年高望重者），又被封為典屬國。公元前60年，蘇武病逝。②北邊，指今天貝加爾湖畔的大城市——伊爾庫茨克一帶。③關(guān)于月亮圓缺是指人們?cè)诘厍蚩吹皆铝帘砻姘l(fā)亮部分的形狀，這在天文學(xué)上叫做月相。主要的月相有4個(gè)：朔、上弦、望、下弦。朔日（農(nóng)歷每月初一），地球上看不到月光；上弦（農(nóng)歷每月初七或初八）和下弦（農(nóng)歷每月廿二或廿三），地球上看到的月亮是月牙形；望日（農(nóng)歷每月十五日，有時(shí)是十六或十七日），地球運(yùn)行到月亮和太陽之間，這天太陽從西方落下去的時(shí)候，月亮正好從東方升上來，地球上看見的是圓月。1年=12月，“二百三十五番圓”即235個(gè)月。
　　【譯文】當(dāng)年蘇武流放到北方牧羊，不知去了多少周年，只記得天邊的月亮，已經(jīng)出現(xiàn)過235次圓月了。
　　【解法】據(jù)注可知，這是一道簡(jiǎn)單除法問題，
　　235÷12=19712=19 7
　　余7為閏月，因?yàn)橐牢覈�農(nóng)歷，19年應(yīng)有7個(gè)閏月。故答案不能是19年零7個(gè)月。
　　答：蘇武去北方已經(jīng)有19周年。
　　【探源】這道詩題可能是古算家根據(jù)歷史人物改編的趣詩，不是從古算書算題改編的。
　　程大位《算法統(tǒng)宗》
　　讀者從本書開篇，就知道程大位的名字，但對(duì)他的經(jīng)歷、治學(xué)及成就不太了解了。
　　程大位（1533～1606）
　　程大位（1533～1606）字汝思，號(hào)賓渠我國古人幼有名（指幼年時(shí)起的乳名，只供長(zhǎng)輩們呼喚），長(zhǎng)有字（指20歲時(shí)加的字，供一般人稱呼）；有的還有號(hào)，即別號(hào)。，明朝安徽休寧縣屯溪鎮(zhèn)前園村（今黃山市屯溪區(qū)前園村）人。程大位讀書很廣博，自幼愛好數(shù)學(xué)。常“不惜重資，以購求遺書”，“迂方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股諸書，輒厚資購得之”。20歲左右在長(zhǎng)江中下游地區(qū)經(jīng)商，利用經(jīng)商機(jī)會(huì)“邀游吳楚，博訪文人達(dá)士”，遇有“睿通數(shù)學(xué)者，輒造請(qǐng)問難，孳孳（即孜孜）不倦”。程大位小商人家，一生從未應(yīng)科舉之試。就是在經(jīng)商時(shí)他仍不忘對(duì)數(shù)學(xué)的研究，到處求師訪書，搜羅了很多古代與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)書籍及民間數(shù)學(xué)資料。有空就讀書、寫心得體會(huì)，經(jīng)過自己咀嚼、消化，開始進(jìn)行著述。他博采眾長(zhǎng)，大約在他40歲那一年，開始對(duì)舊的如1368年前元末安止齋、何平子合著《詳明算法》類型的數(shù)學(xué)書進(jìn)行修改，對(duì)吳敬《九章算法比類大全》（1450）進(jìn)行刪補(bǔ)，并涉獵大量的數(shù)學(xué)資料，直到他進(jìn)入60歲花甲那一年（1592），才完成了他的杰作《直指算法統(tǒng)宗》十七卷共595個(gè)問題。解題時(shí)以算盤作為計(jì)算工具進(jìn)行演算，與傳統(tǒng)的用籌（長(zhǎng)短不等的小竹棍或骨制成）計(jì)算不同。繼后，他又對(duì)《算法統(tǒng)宗》“刪其繁蕪，揭其要領(lǐng)”，約束為《算法纂要》四卷，與十七卷本先后在屯溪刊行。
　　《算法統(tǒng)宗》是我國第一部最完善、系統(tǒng)的珠算說明書，也是一本比較完整、全面的應(yīng)用數(shù)學(xué)書，它的內(nèi)容包括了清代經(jīng)學(xué)家所推崇的《九章算術(shù)》，既符合民間工、農(nóng)、商業(yè)的需要，也適用于數(shù)學(xué)知識(shí)并不很豐富的一般經(jīng)學(xué)人士的需要，所以《算法統(tǒng)宗》在國內(nèi)能得到廣泛和長(zhǎng)久的流傳。公元1716年，程大位的族孫程世緩為翻刻這部書所寫的序中說：“風(fēng)行宇內(nèi)，迄今蓋已百有數(shù)十余年。海內(nèi)握算持籌之士，莫不家藏一編，若業(yè)制舉者之于四子書、五經(jīng)義、翕然以為宗”（大意是說，這本書出版以后，風(fēng)行國內(nèi)一百幾十年，凡是研究算法的人，幾乎人手一冊(cè)，就像考科舉的人對(duì)待《四書》、《五經(jīng)》一樣，奉為經(jīng)典）。該書在國內(nèi)外影響很大，曾流傳到朝鮮、日本等國。日本珠算就是在程大位影響下發(fā)展起來的。
　　……