本書系統(tǒng)論述了數(shù)學物理方程及其近似方法，主要內(nèi)容包括：數(shù)學物理方程的基本問題、本征值問題和分離變數(shù)法的基本原理、Green函數(shù)方法、變分近似方法、積分方程基本理論、微擾理論、數(shù)學物理方程的逆問題和非線性數(shù)學物理方程。
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本書第一版出版于十年前，實際上成稿于三十前作者給研究生開設的數(shù)學物理方程課程，現(xiàn)在看來修改是必須的。作者在第二版中對第一版的內(nèi)容作了全面的修改與補充，主要增加的內(nèi)容有下述幾個方面。
1.提高與物理學內(nèi)容的結合度，增加了許多處理聲學、電磁學以及量子力學方面的例子和章節(jié)，以豐滿所述內(nèi)容，例如電磁場計算中的矩量法，量子力學中的近似方法，聲學中的聲輻射和聲散射，等等；
2.增加了有限元和邊界元數(shù)值計算的基本原理方面的論述。實際上，基于變分法的有限元近似和基于積分方程的邊界元近似，在第四、五章中講述也是順理成章的，這兩部分內(nèi)容的增加也使本書更名副其實。
3.增加了非Hermite對稱算子理論部分，這一部分內(nèi)容在聲學和電磁場理論中是非常實用的，事實上，在引進波的衰減和邊界阻抗后，聲學和電磁場中遇到的實際問題都必須面對非Hermite對稱的波動算子。
4.擴展了部分內(nèi)容，如第五章介紹了分數(shù)導數(shù)、分數(shù)Laplace算子以及分數(shù)Fourier變換，而且這一部分內(nèi)容豐富了Fourier變換，本征值理論，以及Hermite多項式應用，故作者認為增加這一部分是非常必要的。
5.全面改寫了第七章中關于拋物型方程逆問題、橢圓型方程逆問題和波動方程逆問題的內(nèi)容，使之更有深度，但必須說明的是，作者在這方面的科研工作較少，而這方面的內(nèi)容又較新，錯誤是難免的。
作者對第二版的定位是，本書不僅僅作為教學參考書，而且通過閱讀本書，能夠?qū)ψx者的科研工作提供一定的幫助。
目錄
第1章 數(shù)學物理方程的基本問題1
1.1數(shù)學物理方程的分類及一般性問題1
1.1.1基本概念：古典解、廣義解和疊加原理1
1.1.2兩個自變量二階線性方程的分類和化簡9
1.1.3多個自變量線性方程的分類和標準型16
1.1.4數(shù)學物理方程的一般性問題19
1.2波動方程與定解問題的適定性21
1.2.1波動方程的Cauchy問題21
1.2.2非齊次波動方程和推遲勢28
1.2.3能量不等式和Cauchy問題的適定性30
1.2.4混合問題解的唯一性和穩(wěn)定性33
1.2.5般雙曲型方程的能量積分40
1.3 Laplace方程與Helmholtz方程43
1.3.1二個自變量的Laplace方程和Hilbert變換44
1.3.2調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)50
1.3.3邊值問題的適定性53
1.3.4 Helmholtz方程與輻射問題55
1.3.5般橢圓型方程的積分估計59
1.4熱傳導方程與Schrodinger方程62
1.4.1熱傳導方程的Cauchy問題62
1.4.2維熱傳導方程的混合問題68
1.4.3色散型Schrodinger方程70
1.4.4極值原理和混合問題的適定性74
1.4.5般拋物型方程的能量積分估計78
1.4.6三類典型方程定解問題提法比較80
習題一83
第2章 本征值問題和分離變量法86
2.1 Hilbert空間及完備的正交函數(shù)集86
2.1.1 Hilbert空間和平方可積函數(shù)空間86
2.1.2完備的正交歸一函數(shù)集91
2.1.3有限區(qū)間上的完備系：Legendre和Chebvshev多項式98
2.1.4單位球面上的完備系：球諧函數(shù)104
2.2微分算子的本征值問題109
2.2.1Hermite對稱算子及本征值問題109
2.2.2有限個離散譜或混合譜119
2.2.3非Hermite對稱算子：常微分算子124
2.2.4非Hermite對稱算子：偏微分算子127
2.3 SturmLiouville系統(tǒng)和多項式系統(tǒng)133
2.3.1 SturmLiouville系統(tǒng)133
2.3.2 Bessel算子和Bessel方程140
2.3.3 Legendre算子和Legendre方程143
2.3.4 SL多項式系統(tǒng)和Laguerre多項式149
2.3.5 Hermite多項式157
2.4有界區(qū)域定解問題的分離變量法161
2.4.1波動方程的齊次混合問題161
2.4.2熱傳導和色散型方程的齊次混合問題166
2.4.3橢圓型方程的邊值問題171
2.4.4非齊次問題的本征函數(shù)展開174
2.4.5非Hermite對稱算子180
2.5正交曲線坐標系中的分離變量183
2.5.1球坐標系中的Laplace算子183
2.5.2圓錐形區(qū)域190
2.5.3量子力學中的氫原子193
2.5.4圓柱坐標系中的Laplace算子197
2.5.5柱函數(shù)：Bessel函數(shù)的幾種不同形式205
2.6無窮區(qū)域的分離變量法 212
2.6.1無限大區(qū)域：波動方程的Cauchy問題 212
2.6.2半無限大區(qū)域：Laplace方程的邊值問題 215
2.6.3徑向無限區(qū)域、Hankel變換和平面波導221
2.6.4軸向無限區(qū)域和等截面波導229
2.6.5波動方程的非衍射解235
習題二240
第3章 Green函數(shù)方法 243
3.1廣義函數(shù)及Dirac Delta函數(shù)243
3.1.1廣義函數(shù)概念和運算法則243
3.1.2廣義函數(shù)的導數(shù) 250
3.1.3廣義函數(shù)的Fourier變換 254
3.1.4弱收斂、弱解和Dirac Delta函數(shù)序列257
3.1.5曲線坐標中的Dirac Delta函數(shù) 265
3.2二階常微分方程的Green函數(shù)268
3.2.1Cauchy問題的Green函數(shù)268
3.2.2SL型方程的邊值問題 273
3.2.3廣義Green函數(shù)282
3.2.4非Hermite對稱算子的邊值問題 288
3.3高維邊值問題的Green函數(shù) 292
3.3.1非齊次問題的積分公式 292
3.3.2 Helmholtz方程的Green函數(shù) 297
3.3.3無界空間的Green函數(shù)和基本解 301
3.3.4鏡像法求邊值問題的Green函數(shù) 308
3.3.5曲線坐標中的基本解 313
3.3.6運動介質(zhì)中的基本解 318
3.4混合問題的含時Green函數(shù)323
3.4.1熱導方程的Green函數(shù)323
3.4.2波動方程的Green函數(shù) 329
3.4.3 Cauchy問題的基本解335
3.4.4運動電荷產(chǎn)生的場 338
3.4.5徑向無限大區(qū)域的含時Green函數(shù) 342
3.5廣義Green公式及非齊次問題的積分解 344
3.5.1廣義Green公式344
3.5.2三維橢圓型方程的Green函數(shù) 346
3.5.3拋物型方程的Green函數(shù) 351
3.5.4雙曲型方程的Green函數(shù)358
3.5.5拋物近似的波動方程 362
習題三365
第4章 變分近似方法 368
4.1變分問題和古典法368
4.1.1泛函和泛函極值的基本概念368
4.1.2多個變量的變分問題 374
4.1.3變端點問題自然邊界條件和內(nèi)部邊界條件381
4.1.4泛函的條件極值問題 385
4.1.5Hamilton原理與最小位能原理390
4.2變分法在邊值問題中的應用393
4.2.1邊值問題與變分問題的等價：正算子 393
4.2.2變分解的存在性：正定算子399
4.2.3 Ritz近似方法403
4.2.4 Galerkin法和非齊次邊界問題409
4.2.5基于Galerkin法的時域問題414
4.3變分法在本征值問題中的應用415
4.3.1本征值問題與變分問題的等價415
4.3.2完備性定理的證明 421
4.3.3極值定理、本征值與區(qū)域的關系 423
4.3.4 Ritz法和Galerkin法427
4.4有限元近似方法432
4.4.1維邊值問題的有限元法432
4.4.2二維邊值問題的有限元法437
4.4.3基于Galerkin法的時域有限元近似444
4.4.4本征值問題的有限元近似445
4.5變分的其他近似方法447
4.5.1 Kantorovich法一447
4.5.2最速下降法與有界正定算子451
4.5.3共軛梯度法～ 455
4.5.4矩量法和本征值問題 458
習題四463
第5章 積分方程及其近似方法465
5.1積分方程的形成及分類 465
5.1.1Volterra積分方程的形成465
5.1.2Fredholm積分方程的形成470
5.1.3積分—微分方程的形成479
5.1.4非線性積分方程的形成 483
5.1.5Abel方程及第一類積分方程的不適定性討論486
5.2第二類Fredholm積分方程的近似方法489
5.2.1第二類Fredholm方程的迭代法490
5.2.2 Banach空間中第二類Fredholm方程的迭代技術493
5.2.3可分核方程和有限秩核近似501
5.2.4矩量法和Galerkin近似512
5.2.5 Nvstrom方法515
5.2.6非線性積分方程的迭代法518
5.3平方可積函數(shù)空間中的積分方程520
5.3.1 Hermite對稱的平方可積核520
5.3.2第二類Fredholm積分方程及微擾論527
5.3.3平方可積Hermite對稱核的極值性質(zhì) 531
5.3.4本征值問題的有限秩近似533
5.3.5般平方可積核 535
5.4 Fourier變換及其他積分變換538
5.4.1 Fourier變換及逆變換538
5.4.2分數(shù)導數(shù)和分數(shù)Laplace算子543
5.4.3分數(shù)階Fourier變換547
5.4.4 Laplace變換和Hankel變換552
5.4.5 Hilbert變換及逆變換557
5.5邊界元近似方法559
5.5.1 Kirchhoff邊界積分公式559
5.5.2位勢問題的邊界元近似 564
5.5.3 Helmholtz方程的外邊值問題567
5.5.4 時域邊界元近似 571
習題五578
第6章 微擾方洼和漸近展開581
6.1本征值問題的微擾和含時微擾581
6.1.1算子本身的微擾：非簡并態(tài)581
6.1.2算子本身的微擾：簡并態(tài)584
6.1.3邊界條件的微擾 591
6.1.4區(qū)域微擾603
6.1.5 Schrodinger方程的含時微擾607
6.2正則微擾和多尺度展開 610
6.2.1致有效展開 610
6.2.2非一致有效展開和參數(shù)變形法615
6.2.3參數(shù)變形法應用于非線性振動和波動618
6.2.4多尺度展開法 622
6.2.5均質(zhì)化近似方法 627
6.3奇異微擾及邊界層理論 637
6.3.1邊界層理論的基本思想 637
6.3.2二階線性方程的邊值問題642
6.3.3非線性微擾引起的邊界層648
6.3.4初值問題的邊界層 652
6.3.5高維邊值問題的邊界層 658
6.4 WKB近似方法667
6.4.1 WKB近似和Liouville Green變換667
6.4.2具有轉折點的本征值問題和Airy函數(shù)675
6.4.3非均勻波導中的波 682
6.4.4層狀介質(zhì)中高頻波的傳播和激發(fā)687
6.5射線近似f幾何光學）方法696
6.5.1程函方程和輸運方程 697
6.5.2射線管的能量守恒703
6.5.3焦散線附近的波場705
6.5.4平面層狀介質(zhì)中的射線706
習題六710
第7章 數(shù)學物理方程的逆問題713
7.1正則化方法和迭代技術713
7.1.1逆問題的適定性和分類713
7.1.2正則化方法和Tikhonov正則化724
7.1.3第一類Fredholm積分方程的正則化方法731
7.1.4脈沖譜迭代技術733
7.1.5最佳攝動量迭代技術735
7.2掀物型方程的逆問題738
7.2.1維逆問題和Hausdorff矩逆問題一738
7.2.2拋物型方程逆問題的脈沖譜迭代技術746
7.2.3拋物型方程逆問題的最佳攝動量法754
7.2.4光熱測量中熱導系數(shù)的反演758
7.2.5環(huán)境污染控制的逆源問題一763
7.3橢圓型方程的逆問題765
7.3.1 Cauchy問題的積分方程法765
7.3.2 Cauchy問題的基本解法769
7.3.3 Cauchy問題的邊界元法773
7.3.4橢圓型方程的系數(shù)逆問題776
7.3.5橢圓方程的逆源問題784
7.4波動方程的逆問題786
7.4.1系數(shù)逆問題的迭代法786
7.4.2散射體的散射和Kirchhoff近似793
7.4.3散射體形狀的逆散射801
7.4.4非均勻介質(zhì)的散射Born近似和Rvtov近似807
7.4.5介質(zhì)參數(shù)的逆散射813
7.5本征值逆問題817
7.5.1本征值的漸近特征817
7.5.2本征值逆問題的唯一性822
7.5.3熱導方程系數(shù)逆問題的唯一性826
7.5.4數(shù)值方法829
7.5.5高維本征值逆問題833
習題七835
第8章 非線性數(shù)學物理方程837
8.1典型非線性方程及其行波解837
8.1.1 Burgers方程及沖擊波837
8.1.2 KdV方程及孤立波 842
8.1.3非線性KleinGordon方程846
8.1.4非線性Schrodinger方程一851
8.1.5 KdVBurgers方程一854
8.2 HopfCole變換和Hirota方法859
8.2.1 Burgers方程的HopfCole變換860
8.2.2 KdV窮程的廣義Hopf Cole變換865
8.2.3 KdVBurgers方程的廣義HopfCole變換869
8.2.4 Hirota方法870
8.3逆散射方法和Lax理論874
8.3.1維Schrodinger方程的逆散射問題874
8.3.2解KdV方程初值問題的基本思想 883
8.3.3KdV方程初值問題的孤立子解886
8.3.4 Lax理論892
8.4 Backlund變換和非線性迭加895
8.4.1 Backlund變換的基本思想895
8.4.2 SineGordon方程的自Backlund變換896
8.4.3 KdV方程的自Backlund變換900
8.4.4非線性迭加公式903
習題八906
參考文獻908
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