《黎曼幾何引論》上、下兩冊的分工是：上冊作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)研究生課程“黎曼幾何引論”的教材，其主要內(nèi)容應(yīng)該、而且能夠在周學(xué)時(shí)為3、或4的一學(xué)期課程中講完，重點(diǎn)是黎曼幾何的基本概念和基本理論，以及大范圍黎曼幾何的主要結(jié)果和變分方法的運(yùn)用；下冊可以作為后續(xù)課程“黎曼幾何Ⅱ”的教材，或討論班的學(xué)習(xí)材料。當(dāng)前，微分幾何與數(shù)學(xué)的各個(gè)分支的相互影響越來越深刻、關(guān)系越來越密切，本書的下冊則體現(xiàn)了這種緊密的聯(lián)系。例如，Kahler流形是復(fù)流形幾何以及代數(shù)幾何的主要角色，在本書我們從微分幾何的角度論述了Kahler流形上的各種結(jié)構(gòu)的相容性及其幾何意義。黎曼對稱空間是一類特殊的黎曼流形，有相當(dāng)豐富的對稱性質(zhì)，與李群和李代數(shù)有密切的聯(lián)系，它是微分幾何的重要研究對象，也是調(diào)和分析等的演繹舞臺。微分幾何在數(shù)學(xué)各個(gè)分支中的主要應(yīng)用是，它提供了一種對于光滑切向量場進(jìn)行微分的結(jié)構(gòu)，所以聯(lián)絡(luò)是微分幾何的核心內(nèi)容。本書的第十章從平行移動的角度闡述了主叢上的聯(lián)絡(luò)的由來及其幾何意義。一個(gè)約定俗成的準(zhǔn)則是，一個(gè)數(shù)學(xué)命題是否屬于微分幾何的范疇，關(guān)鍵是看它是否涉及曲率的概念。曲率是圖形或某種空間結(jié)構(gòu)通過微分手段獲得的不變量，是微分幾何中最基本的概念，是衡量空間的某種結(jié)構(gòu)是否平凡的數(shù)量特征。本書各章都要講到各種結(jié)構(gòu)的曲率及其幾何意義為止。
　　翻閱本書不難發(fā)現(xiàn)，本書的選材和敘述與現(xiàn)有的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)相比較都有它的獨(dú)到之處。本書是作者在北京大學(xué)學(xué)習(xí)微分幾何和長期從事微分幾何教學(xué)和研究的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這里，我們特別懷念吳光磊教授，因?yàn)楸緯�的有些講法出自吳先生在討論班上的演講。例如，復(fù)向量空間的對偶空間，向量叢上聯(lián)絡(luò)所誘導(dǎo)的水平分布等等都是吳先生在討論班上曾經(jīng)講過的內(nèi)容，凝集了他的學(xué)習(xí)心得。而且，他經(jīng)常要求我們用最簡潔的語言把概念清晰地表達(dá)出來。我們在本書所追求的目標(biāo)之一就是把概念的由來和意義講清楚，而不滿足于它們的形式表述。數(shù)學(xué)的概念不只是術(shù)語和公式的堆砌，它們都有發(fā)生、發(fā)展和推廣的過程。我們試圖努力反映這種發(fā)展的過程。例如，第十章的（2。18）式定義的標(biāo)架叢上的聯(lián)絡(luò)形式θ是主叢上的聯(lián)絡(luò)形式的特殊情形，我們還進(jìn)一步指出：實(shí)際上它是向量叢E上的活動標(biāo)架的相對分量。在這樣理解的基礎(chǔ)上，我們才能體會到抽象概念的豐富、生動的內(nèi)涵，而不只是一堆枯燥的公式。當(dāng)然，本書只提供了K?hler流形、黎曼對稱空間、主纖維叢上的聯(lián)絡(luò)的基礎(chǔ)理論，并不是直接從事這些課題的前沿研究，但是它們?yōu)橛嘘P(guān)課題的前沿研究提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，我們相信這些內(nèi)容對于從事微分幾何、非線性分析、調(diào)和分析和數(shù)學(xué)物理研究的工作者是十分有用的。
　　和上冊一樣，李興校教授參與了本書的寫作，特別是本書的習(xí)題、答案和提示以及10。6是由他執(zhí)筆的。本書的寫作得到國家自然科學(xué)基金（項(xiàng)目批準(zhǔn)號NSFC10271004）的資助，我們對此表示衷心的感謝。作者對責(zé)任編輯邱淑清老師的卓有成效的辛勤工作表示感謝。20年多來，她為數(shù)學(xué)書籍的出版傾注了很多心血，嚴(yán)格、細(xì)致的工作作風(fēng)有口皆碑。借此機(jī)會向她表示崇高的敬意。
　　限于作者的水平，本書中的不足之處肯定是存在的，誠懇地希望讀者能不吝指正。