目錄
前言
第1章 函數(shù)與極限 1
1.1函數(shù) 1
1.1.1集合 1
1.1.2區(qū)間和鄰域 2
1.1.3函數(shù)的概念 3
1.1.4函數(shù)的幾種性質(zhì) 6
1.1.5反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 9
1.1.6初等函數(shù) 11
習(xí)題1-1 14
1.2數(shù)列的極限 16
1.2.1數(shù)列極限的定義 16
1.2.2收斂數(shù)列的性質(zhì) 19
習(xí)題1-2 21
1.3函數(shù)的極限 22
1.3.1函數(shù)極限的定義 22
1.3.2函數(shù)極限的性質(zhì) 29
習(xí)題1-3 30
1.4無窮小與無窮大 31
1.4.1無窮小 31
1.4.2無窮大 32
習(xí)題1-4 33
1.5極限運算法則 33
1.5.1無窮小量的運算法則 33
1.5.2函數(shù)極限的四則運算法則 34
1.5.3復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 39
習(xí)題1-5 40
1.6極限存在準則 兩個重要極限公式 41
習(xí)題1-6 46
1.7無窮小的比較 47
習(xí)題1-7 50
1.8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 50
1.8.1函數(shù)的連續(xù)性 50
1.8.2函數(shù)的間斷點 53
習(xí)題1-8 55
1.9連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 56
1.9.1連續(xù)函數(shù)的四則運算的連續(xù)性 56
1.9.2反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 56
1.9.3初等函數(shù)的連續(xù)性 57
習(xí)題1-9 59
1.10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 60
習(xí)題1-10 63
總習(xí)題一（A） 64
總習(xí)題一（B） 66
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 69
2.1導(dǎo)數(shù)概念 69
2.1.1引例 69
2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義 71
2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 75
2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 78
習(xí)題2-1 79
2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則與基本導(dǎo)數(shù)公式 80
2.2.1四則運算的求導(dǎo)法則 80
2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則 82
2.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 84
2.2.4基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 87
習(xí)題2-2 89
2.3高階導(dǎo)數(shù) 91
2.3.1高階導(dǎo)數(shù)的定義 91
2.3.2一些常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式 92
2.3.3高階導(dǎo)數(shù)的運算法則 94
習(xí)題2-3 95
2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 96
2.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 96
2.4.2由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 99
2.4.3相關(guān)變化率 101
習(xí)題2-4 103
2.5 函數(shù)的微分 104
2.5.1微分的定義 104
2.5.2基本微分公式與微分運算法則 106
2.5.3微分的幾何意義 108
2.5.4微分在近似計算中的應(yīng)用 109
習(xí)題2-5 110
總習(xí)題二（A） 111
總習(xí)題二（B） 112
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 115
3.1微分中值定理 115
3.1.1函數(shù)的極值 115
3.1.2微分中值定理 117
習(xí)題3-1 123
3.2泰勒公式 124
習(xí)題3-2 130
3.3洛必達法則 131
3.3.1型未定式的洛必達法則 131
3.3.2型未定式的洛必達法則 133
3.3.3其他類型的未定式 134
習(xí)題3-3 136
3.4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 137
3.4.1函數(shù)單調(diào)性的判定法 137
3.4.2曲線的凹凸性及拐點 140
習(xí)題3-4 144
3.5函數(shù)的極值與最值 145
3.5.1函數(shù)的極值 145
3.5.2最值問題 148
習(xí)題3-5 150
3.6函數(shù)圖形的描繪 151
3.6.1曲線的漸近線 151
3.6.2函數(shù)圖形的描繪 154
習(xí)題3-6 156
3.7曲率 156
3.7.1弧微分 156
3.7.2曲率及其計算公式 157
3.7.3曲率圓、曲率中心與曲率半徑 161
3.7.4漸屈線與漸伸線 163
習(xí)題3-7 165
總習(xí)題三（A） 165
總習(xí)題三（B） 167
第4章 不定積分 170
4.1不定積分的概念與性質(zhì) 170
4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念 170
4.1.2基本積分表 173
4.1.3不定積分的性質(zhì) 173
習(xí)題4-1 176
4.2換元積分法 177
4.2.1第一類換元積分法 177
4.2.2第二類換元積分法 183
習(xí)題4-2 188
4.3分部積分法 189
習(xí)題4-3 193
4.4幾種特殊類型函數(shù)的積分 194
4.4.1有理函數(shù)的不定積分 194
4.4.2三角函數(shù)有理式的積分 198
4.4.3簡單無理函數(shù)的積分 199
習(xí)題4-4 201
4.5積分表的使用 202
習(xí)題4-5 203
總習(xí)題四（A） 203
總習(xí)題四（B） 206
第5章 定積分及其應(yīng)用 209
5.1定積分的概念與性質(zhì) 209
5.1.1引例 209
5.1.2定積分的定義 211
5.1.3定積分的性質(zhì) 215
習(xí)題5-1 218
5.2微積分學(xué)基本公式 219
5.2.1變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 219
5.2.2積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 220
5.2.3牛頓-萊布尼茨公式 222
習(xí)題5-2 225
5.3定積分的換元法和分部積分法 226
5.3.1定積分的換元法 226
5.3.2定積分的分部積分法 230
習(xí)題5-3 233
5.4廣義積分 235
5.4.1無窮限的廣義積分 235
5.4.2無界函數(shù)的廣義積分 237
習(xí)題5-4 240
5.5定積分的元素法及其應(yīng)用 240
5.5.1定積分的元素法 240
5.5.2定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 242
5.5.3定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 249
習(xí)題5-5 254
總習(xí)題五（A） 255
總習(xí)題五（B） 257
第6章 空間解析幾何初步 261
6.1空間直角坐標系 261
6.1.1空間中的點的直角坐標 261
6.1.2空間兩點間的距離 262
習(xí)題6-1 264
6.2向量代數(shù) 264
6.2.1向量的概念 264
6.2.2向量的運算 265
6.2.3向量的坐標 268
6.2.4向量在軸上的投影 270
6.2.5兩個向量的數(shù)量積和向量的方向余弦 271
6.2.6兩個向量的向量積 275
6.2.7向量的混合積 278
習(xí)題6-2 280
6.3空間的平面與直線 281
6.3.1平面及其方程 281
6.3.2空間直線及其方程 284
6.3.3點、直線、平面之間的位置關(guān)系 287
6.3.4平面束 291
習(xí)題6-3 293
6.4空間的曲面與曲線 295
6.4.1曲面方程的概念 295
6.4.2一些常見的曲面 296
6.4.3二次曲面 299
6.4.4空間曲線的方程 303
6.4.5曲面的參數(shù)方程 305
6.4.6空間曲線在坐標面上的投影 306
習(xí)題6-4 308
總習(xí)題六（A） 310
總習(xí)題六（B） 312
第7章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 314
7.1多元函數(shù)的基本概念 314
7.1.1平面點集的一些概念 314
7.1.2n維空間 317
7.1.3多元函數(shù)的概念 317
7.1.4多元函數(shù)的極限 320
7.1.5多元函數(shù)的連續(xù)性 322
習(xí)題7-1 324
7.2偏導(dǎo)數(shù) 325
7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法 325
7.2.2高階偏導(dǎo)數(shù) 329
習(xí)題7-2 332
7.3全微分 333
7.3.1全微分的定義 333
7.3.2可微的必要條件與充分條件 334
7.3.3全微分在近似計算中的應(yīng)用 337
習(xí)題7-3 339
7.4多元復(fù)合函數(shù)的微分法 339
7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 339
7.4.2全微分的形式不變性 344
習(xí)題7-4 345
7.5隱函數(shù)的微分法 346
7.5.1一個方程的情形 346
7.5.2方程組的情形 349
習(xí)題7-5 351
7.6多元微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用 352
7.6.1空間曲線的切線與法平面 352
7.6.2曲面的切平面與法線 356
習(xí)題7-6 359
7.7方向?qū)��?shù)與梯度 359
7.7.1方向?qū)��?shù) 359
7.7.2梯度 363
習(xí)題7-7 366
7.8多元函數(shù)的極值及其求法 367
7.8.1多元函數(shù)的極值 367
7.8.2條件極值拉格朗日乘數(shù)法 370
習(xí)題7-8 375
7.9數(shù)學(xué)模型 376
7.9.1最優(yōu)化模型 376
7.9.2最小二乘法模型 377
習(xí)題7-9 379
總習(xí)題七（A） 380
總習(xí)題七（B） 381
第8章 重積分 383
8.1二重積分的概念與性質(zhì) 383
8.1.1二重積分的概念 383
8.1.2二重積分的性質(zhì) 386
習(xí)題8-1 388
8.2二重積分的計算方法 389
8.2.1利用直角坐標計算二重積分 389
8.2.2利用極坐標計算二重積分 395
習(xí)題8-2 400
8.3三重積分 402
8.3.1三重積分的概念 402
8.3.2三重積分的計算 403
習(xí)題8-3 408
8.4重積分的應(yīng)用 409
8.4.1曲面的面積 409
8.4.2質(zhì)心 411
8.4.3轉(zhuǎn)動慣量 413
8.4.4引力 414
習(xí)題8-4 416
總習(xí)題八（A） 417
總習(xí)題八（B） 420
第9章 曲線積分與曲面積分 424
9.1第一類曲線積分 424
9.1.1第一類曲線積分的概念與性質(zhì) 424
9.1.2第一類曲線積分的計算 427
習(xí)題9-1 429
9.2第二類曲線積分 429
9.2.1第二類曲線積分的概念與性質(zhì) 429
9.2.2第二類曲線積分的計算 433
9.2.3兩類曲線積分之間的聯(lián)系 436
習(xí)題9-2 437
9.3格林公式及其應(yīng)用 438
9.3.1格林公式 438
9.3.2平面曲線積分與路線無關(guān)的條件 443
9.3.3原函數(shù)計算的例題 446
習(xí)題9-3 448
9.4第一類曲面積分 449
9.4.1第一類曲面積分的概念與性質(zhì) 449
9.4.2第一類曲面積分的計算 450
習(xí)題9-4 453
9.5第二類曲面積分 454
9.5.1第二類曲面積分的概念與性質(zhì) 454
9.5.2第二類曲面積分的計算 458
9.5.3兩類曲面積分之間的聯(lián)系 460
習(xí)題9-5 462
9.6高斯公式與斯托克斯公式 463
9.6.1高斯公式 463
9.6.2斯托克斯公式 466
習(xí)題9-6 469
9.7散度與旋度 470
9.7.1散度 470
9.7.2旋度 471
習(xí)題9-7 473
總習(xí)題九（A） 473
總習(xí)題九（B） 475
第10章 無窮級數(shù) 478
10.1常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì) 478
10.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念 478
10.1.2無窮級數(shù)的性質(zhì) 481
習(xí)題10-1 484
10.2正項級數(shù) 485
習(xí)題10-2 492
10.3一般項級數(shù)及其審斂法 493
10.3.1交錯級數(shù)及其審斂法 493
10.3.2絕對收斂與條件收斂 495
習(xí)題10-3 498
10.4冪級數(shù) 498
10.4.1函數(shù)項級數(shù)的概念 499
10.4.2冪級數(shù)及其收斂區(qū)間 500
10.4.3冪級數(shù)的運算 504
習(xí)題10-4 507
10.5函數(shù)展開成冪級數(shù) 508
10.5.1泰勒級數(shù) 508
10.5.2函數(shù)展開成冪級數(shù) 510
習(xí)題10-5 515
10.6函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 515
10.6.1近似計算 515
10.6.2歐拉公式 518
習(xí)題10-6 519
10.7傅里葉級數(shù) 519
10.7.1三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性 519
10.7.2收斂定理與函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 522
習(xí)題10-7 526
10.8一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 526
10.8.1周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 526
10.8.2正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 528
習(xí)題10-8 532
總習(xí)題十（A） 532
總習(xí)題十（B） 536
第11章 微分方程 539
11.1微分方程的基本概念 539
習(xí)題11-1 542
11.2可分離變量的微分方程 543
11.2.1可分離變量的微分方程 543
11.2.2齊次方程 545
習(xí)題11-2 549
11. 一階線性微分方程 549
11.3.1一階線性微分方程 549
11.3.2伯努利方程 553
習(xí)題11-3 554
11.4全微分方程 555
習(xí)題11-4 557
11.5可降階的高階微分方程 558
11.5.1型的微分方程 558
11.5.2型的微分方程 558
11.5.3型的微分方程 561
習(xí)題11-5 563
11.6高階線性微分方程 563
11.6.1齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 564
11.6.2非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 565
習(xí)題11-6 567
11.7常系數(shù)齊次線性微分方程 567
習(xí)題11-7 571
11.8 常系數(shù)非齊次線性微分方程 歐拉方程 571
11.8.1型 572
11.8.2型 575
11.8.3歐拉方程 576
習(xí)題11-8 578
11.9微分方程的簡單應(yīng)用 578
習(xí)題11-9 589
總習(xí)題十一（A） 591
總習(xí)題十一（B） 591
第12章 數(shù)學(xué)實驗 594
12.1函數(shù)作圖 594
12.1.1一元函數(shù)作圖（二維圖形） 594
12.1.2空間曲線的繪制 597
12.1.3空間曲面的繪制 599
12.1.4球面和旋轉(zhuǎn)曲面的繪制 601
12.1.5綜合作圖 602
12.2函數(shù)極限的計算 604
12.2.1求函數(shù)的極限 604
12.2.2作圖觀察函數(shù)的連續(xù)性 606
12.3函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分計算 608
12.3.1一元顯函數(shù)求導(dǎo) 608
12.3.2隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo) 610
12.3.3多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計算 611
12.3.4多元函數(shù)極值的計算 614
12.4函數(shù)的積分計算 616
12.4.1不定積分的符號計算 616
12.4.2定積分和廣義積分的符號計算 619
12.4.3定積分的數(shù)值計算 623
12.4.4二重積分和三重積分的計算 625
12.5無窮級數(shù) 628
12.5.1級數(shù)求和 628
12.5.2數(shù)項級數(shù)判斂 629
12.5.3泰勒級數(shù)和傅里葉級數(shù)的展開 631
12.6常微分方程 634
12.6.1常微分方程符號解的求解 634
12.6.2常微分方程的數(shù)值解求解 635
參考文獻 638
附錄Ⅰ 積分表 639
附錄Ⅱ 幾種常用的曲線 645
參考答案 648